Theorem lsmsubm 18068

Description: The sum of two commuting submonoids is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsubg.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )
lsmsubg.z	|- Z = (Cntz ` G )

Assertion

Ref	Expression
lsmsubm	|- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) e. (SubMnd ` G ) )

Proof of Theorem lsmsubm

Dummy variables a b c d x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 17346	. . . 4 |- ( T e. (SubMnd ` G ) -> G e. Mnd )
2	1	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> G e. Mnd )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
4	3	submss 17350	. . . 4 |- ( T e. (SubMnd ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) )
5	4	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
6	3	submss 17350	. . . 4 |- ( U e. (SubMnd ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) )
7	6	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
8		lsmsubg.p	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` G )
9	3, 8	lsmssv 18058	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ T C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) -> ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) )
10	2, 5, 7, 9	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) )
11		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> U e. (SubMnd ` G ) )
12	3, 8	lsmub1x 18061	. . . 4 |- ( ( T C_ ( Base ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) ) -> T C_ ( T .(+) U ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> T C_ ( T .(+) U ) )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
15	14	subm0cl 17352	. . . 4 |- ( T e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. T )
16	15	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( 0g ` G ) e. T )
17	13, 16	sseldd 3604	. 2 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( 0g ` G ) e. ( T .(+) U ) )
18		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
19	3, 18, 8	lsmelvalx 18055	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ T C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( T .(+) U ) <-> E. a e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) ) )
20	2, 5, 7, 19	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( x e. ( T .(+) U ) <-> E. a e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) ) )
21	3, 18, 8	lsmelvalx 18055	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ T C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) -> ( y e. ( T .(+) U ) <-> E. b e. T E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) )
22	2, 5, 7, 21	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( y e. ( T .(+) U ) <-> E. b e. T E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) )
23	20, 22	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) <-> ( E. a e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ E. b e. T E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) ) )
24		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. a e. T E. b e. T ( E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) <-> ( E. a e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ E. b e. T E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) )
25		reeanv 3107	. . . . . . 7 |- ( E. c e. U E. d e. U ( x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ y = ( b ( +g ` G ) d ) ) <-> ( E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) )
26	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> G e. Mnd )
27	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
28		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> a e. T )
29	27, 28	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> a e. ( Base ` G ) )
30		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> b e. T )
31	27, 30	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> b e. ( Base ` G ) )
32	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
33		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> c e. U )
34	32, 33	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> c e. ( Base ` G ) )
35		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> d e. U )
36	32, 35	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> d e. ( Base ` G ) )
37		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> T C_ ( Z ` U ) )
38	37, 30	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> b e. ( Z ` U ) )
39		lsmsubg.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = (Cntz ` G )
40	18, 39	cntzi 17762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ( Z ` U ) /\ c e. U ) -> ( b ( +g ` G ) c ) = ( c ( +g ` G ) b ) )
41	38, 33, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> ( b ( +g ` G ) c ) = ( c ( +g ` G ) b ) )
42	3, 18, 26, 29, 31, 34, 36, 41	mnd4g 17307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) ( c ( +g ` G ) d ) ) = ( ( a ( +g ` G ) c ) ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) d ) ) )
43		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> T e. (SubMnd ` G ) )
44	18	submcl 17353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ a e. T /\ b e. T ) -> ( a ( +g ` G ) b ) e. T )
45	43, 28, 30, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> ( a ( +g ` G ) b ) e. T )
46		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> U e. (SubMnd ` G ) )
47	18	submcl 17353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. (SubMnd ` G ) /\ c e. U /\ d e. U ) -> ( c ( +g ` G ) d ) e. U )
48	46, 33, 35, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> ( c ( +g ` G ) d ) e. U )
49	3, 18, 8	lsmelvalix 18056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Mnd /\ T C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) /\ ( ( a ( +g ` G ) b ) e. T /\ ( c ( +g ` G ) d ) e. U ) ) -> ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) ( c ( +g ` G ) d ) ) e. ( T .(+) U ) )
50	26, 27, 32, 45, 48, 49	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) ( c ( +g ` G ) d ) ) e. ( T .(+) U ) )
51	42, 50	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> ( ( a ( +g ` G ) c ) ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) d ) ) e. ( T .(+) U ) )
52		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ y = ( b ( +g ` G ) d ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( ( a ( +g ` G ) c ) ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) d ) ) )
53	52	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ y = ( b ( +g ` G ) d ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) <-> ( ( a ( +g ` G ) c ) ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) d ) ) e. ( T .(+) U ) ) )
54	51, 53	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( ( a e. T /\ b e. T ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) ) -> ( ( x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ y = ( b ( +g ` G ) d ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) )
55	54	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. T ) ) /\ ( c e. U /\ d e. U ) ) -> ( ( x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ y = ( b ( +g ` G ) d ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) )
56	55	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. T ) ) -> ( E. c e. U E. d e. U ( x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ y = ( b ( +g ` G ) d ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) )
57	25, 56	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. T ) ) -> ( ( E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) )
58	57	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( E. a e. T E. b e. T ( E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) )
59	24, 58	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( ( E. a e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) c ) /\ E. b e. T E. d e. U y = ( b ( +g ` G ) d ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) )
60	23, 59	sylbid 230	. . 3 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) )
61	60	ralrimivv 2970	. 2 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> A. x e. ( T .(+) U ) A. y e. ( T .(+) U ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) )
62	3, 14, 18	issubm 17347	. . 3 |- ( G e. Mnd -> ( ( T .(+) U ) e. (SubMnd ` G ) <-> ( ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. ( T .(+) U ) /\ A. x e. ( T .(+) U ) A. y e. ( T .(+) U ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) ) )
63	2, 62	syl 17	. 2 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( ( T .(+) U ) e. (SubMnd ` G ) <-> ( ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) /\ ( 0g ` G ) e. ( T .(+) U ) /\ A. x e. ( T .(+) U ) A. y e. ( T .(+) U ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( T .(+) U ) ) ) )
64	10, 17, 61, 63	mpbir3and 1245	1 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) e. (SubMnd ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  Cntzccntz 17748   LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  lsmsubg  18069