Theorem lsmsubg 18069

Description: The sum of two commuting subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsubg.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )
lsmsubg.z	|- Z = (Cntz ` G )

Assertion

Ref	Expression
lsmsubg	|- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) )

Proof of Theorem lsmsubg

Dummy variables a b x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> T e. (SubGrp ` G ) )
2		subgsubm 17616	. . . 4 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> T e. (SubMnd ` G ) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> T e. (SubMnd ` G ) )
4		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> U e. (SubGrp ` G ) )
5		subgsubm 17616	. . . 4 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U e. (SubMnd ` G ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> U e. (SubMnd ` G ) )
7		simp3 1063	. . 3 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> T C_ ( Z ` U ) )
8		lsmsubg.p	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` G )
9		lsmsubg.z	. . . 4 |- Z = (Cntz ` G )
10	8, 9	lsmsubm 18068	. . 3 |- ( ( T e. (SubMnd ` G ) /\ U e. (SubMnd ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) e. (SubMnd ` G ) )
11	3, 6, 7, 10	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) e. (SubMnd ` G ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
13	12, 8	lsmelval 18064	. . . . 5 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( T .(+) U ) <-> E. a e. T E. b e. U x = ( a ( +g ` G ) b ) ) )
14	13	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( x e. ( T .(+) U ) <-> E. a e. T E. b e. U x = ( a ( +g ` G ) b ) ) )
15	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> T e. (SubGrp ` G ) )
16		subgrcl 17599	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> G e. Grp )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
19	18	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) )
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
21		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> a e. T )
22	20, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> a e. ( Base ` G ) )
23	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> U e. (SubGrp ` G ) )
24	18	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
26		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> b e. U )
27	25, 26	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> b e. ( Base ` G ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
29	18, 12, 28	grpinvadd 17493	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ a e. ( Base ` G ) /\ b e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( a ( +g ` G ) b ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` b ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` a ) ) )
30	17, 22, 27, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( a ( +g ` G ) b ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` b ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` a ) ) )
31	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> T C_ ( Z ` U ) )
32	28	subginvcl 17603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ a e. T ) -> ( ( invg ` G ) ` a ) e. T )
33	15, 21, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( ( invg ` G ) ` a ) e. T )
34	31, 33	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( ( invg ` G ) ` a ) e. ( Z ` U ) )
35	28	subginvcl 17603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (SubGrp ` G ) /\ b e. U ) -> ( ( invg ` G ) ` b ) e. U )
36	23, 26, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( ( invg ` G ) ` b ) e. U )
37	12, 9	cntzi 17762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( invg ` G ) ` a ) e. ( Z ` U ) /\ ( ( invg ` G ) ` b ) e. U ) -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` b ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` b ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` a ) ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` b ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` b ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` a ) ) )
39	30, 38	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( a ( +g ` G ) b ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` b ) ) )
40	12, 8	lsmelvali 18065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( ( ( invg ` G ) ` a ) e. T /\ ( ( invg ` G ) ` b ) e. U ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` b ) ) e. ( T .(+) U ) )
41	15, 23, 33, 36, 40	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` a ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` b ) ) e. ( T .(+) U ) )
42	39, 41	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( a ( +g ` G ) b ) ) e. ( T .(+) U ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = ( ( invg ` G ) ` ( a ( +g ` G ) b ) ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( T .(+) U ) <-> ( ( invg ` G ) ` ( a ( +g ` G ) b ) ) e. ( T .(+) U ) ) )
45	42, 44	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) /\ ( a e. T /\ b e. U ) ) -> ( x = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( T .(+) U ) ) )
46	45	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( E. a e. T E. b e. U x = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( T .(+) U ) ) )
47	14, 46	sylbid 230	. . 3 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( x e. ( T .(+) U ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( T .(+) U ) ) )
48	47	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> A. x e. ( T .(+) U ) ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( T .(+) U ) )
49	1, 16	syl 17	. . 3 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> G e. Grp )
50	28	issubg3 17612	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) <-> ( ( T .(+) U ) e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. ( T .(+) U ) ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( T .(+) U ) ) ) )
51	49, 50	syl 17	. 2 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) <-> ( ( T .(+) U ) e. (SubMnd ` G ) /\ A. x e. ( T .(+) U ) ( ( invg ` G ) ` x ) e. ( T .(+) U ) ) ) )
52	11, 48, 51	mpbir2and 957	1 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  SubMndcsubmnd 17334   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  pj1ghm  18116  lsmsubg2  18262  dprd2da  18441  dmdprdsplit2lem  18444  dprdsplit  18447