Theorem lspf 18974

Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables s p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
2		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
4		lspval.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
5		lspval.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lss1 18939	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> V e. S )
7		elpwi 4168	. . . . . 6 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
8		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
9	8	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
10	6, 7, 9	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
11		rabn0 3958	. . . . 5 |- ( { p e. S | s C_ p } =/= (/) <-> E. p e. S s C_ p )
12	10, 11	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } =/= (/) )
13	5	lssintcl 18964	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ { p e. S | s C_ p } =/= (/) ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
14	1, 3, 12, 13	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
15		eqid 2622	. . 3 |- ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } )
16	14, 15	fmptd 6385	. 2 |- ( W e. LMod -> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S )
17		lspval.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
18	4, 5, 17	lspfval 18973	. . 3 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
19	18	feq1d 6030	. 2 |- ( W e. LMod -> ( N : ~P V --> S <-> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S ) )
20	16, 19	mpbird 247	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lspcl  18976  islmodfg  37639