Theorem ltlen 10138

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltlen	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ B =/= A ) ) )

Proof of Theorem ltlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 10126	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
2		ltne 10134	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )
3	2	ex 450	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A < B -> B =/= A ) )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> B =/= A ) )
5	1, 4	jcad 555	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B /\ B =/= A ) ) )
6		leloe 10124	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
7		ax-1 6	. . . . 5 |- ( A < B -> ( B =/= A -> A < B ) )
8		df-ne 2795	. . . . . 6 |- ( B =/= A <-> -. B = A )
9		pm2.24 121	. . . . . . 7 |- ( B = A -> ( -. B = A -> A < B ) )
10	9	eqcoms 2630	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( -. B = A -> A < B ) )
11	8, 10	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( A = B -> ( B =/= A -> A < B ) )
12	7, 11	jaoi 394	. . . 4 |- ( ( A < B \/ A = B ) -> ( B =/= A -> A < B ) )
13	6, 12	syl6bi 243	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> ( B =/= A -> A < B ) ) )
14	13	impd 447	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B =/= A ) -> A < B ) )
15	5, 14	impbid 202	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ B =/= A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  ltleni  10155  ltlend  10182  nn0lt2  11440  rpneg  11863  fzofzim  12514  elfznelfzob  12574  hashsdom  13170  cnpart  13980  oddprmgt2  15411  chfacfisf  20659  chfacfisfcpmat  20660  ang180lem2  24540  mumullem2  24906  lgsneg  25046  lgsdilem  25049  lgsdirprm  25056  axlowdimlem16  25837  unitdivcld  29947  poimirlem24  33433  itg2addnclem  33461  fzopredsuc  41333  iccpartiltu  41358  icceuelpartlem  41371  difmodm1lt  42317