Theorem ang180lem2 24540

Description: Lemma for ang180 24544. Show that the revolution number N is strictly between -u 2 and 1. Both bounds are established by iterating using the bounds on the imaginary part of the logarithm, logimcl 24316, but the resulting bound gives only N <_ 1 for the upper bound. The case N = 1 is not ruled out here, but it is in some sense an "edge case" that can only happen under very specific conditions; in particular we show that all the angle arguments A , 1 / ( 1 - A ) , ( A - 1 ) / A must lie on the negative real axis, which is a contradiction because clearly if A is negative then the other two are positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ang.1	|- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
ang180lem1.2	|- T = ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) )
ang180lem1.3	|- N = ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
ang180lem2	|- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 < N /\ N < 1 ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   T( x, y)   F( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem ang180lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
2		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3	2	rehalfcli 11281	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	recni 10052	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
5	1, 4	negsubdii 10366	. . . . . 6 |- -u ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = ( -u 2 + ( 1 / 2 ) )
6		4d2e2 11184	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 2 ) = 2
7	6	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = ( 2 - ( 1 / 2 ) )
8		4cn 11098	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. CC
9		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
10		2cnne0 11242	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
11		divsubdir 10721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) )
12	8, 9, 10, 11	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) )
13		3cn 11095	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
14	9, 13	addcomi 10227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 + 3 ) = ( 3 + 1 )
15		df-4 11081	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 = ( 3 + 1 )
16	14, 15	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 3 ) = 4
17	8, 9, 13, 16	subaddrii 10370	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 - 1 ) = 3
18	17	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 - 1 ) / 2 ) = ( 3 / 2 )
19	12, 18	eqtr3i 2646	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 / 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = ( 3 / 2 )
20	7, 19	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 |- ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = ( 3 / 2 )
21	20	negeqi 10274	. . . . . 6 |- -u ( 2 - ( 1 / 2 ) ) = -u ( 3 / 2 )
22	5, 21	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) = -u ( 3 / 2 )
23		3re 11094	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
24	23	rehalfcli 11281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 / 2 ) e. RR
25	24	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 / 2 ) e. CC
26		picn 24211	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
27	25, 1, 26	mulassi 10049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) )
28		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
29	13, 1, 28	divcan1i 10769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) = 3
30	29	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 3 / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( 3 x. pi )
31	27, 30	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 3 x. pi )
32	31	negeqi 10274	. . . . . . . 8 |- -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( 3 x. pi )
33		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
34		pire 24210	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
35	33, 34	remulcli 10054	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. pi ) e. RR
36	35	recni 10052	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. CC
37	25, 36	mulneg1i 10476	. . . . . . . 8 |- ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) )
38	13, 26	mulneg2i 10477	. . . . . . . 8 |- ( 3 x. -u pi ) = -u ( 3 x. pi )
39	32, 37, 38	3eqtr4i 2654	. . . . . . 7 |- ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( 3 x. -u pi )
40	34	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
41	33, 40	remulcli 10054	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. -u pi ) e. RR
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) e. RR )
43	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi e. RR )
44		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A e. CC )
45		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 - A ) e. CC )
46	9, 44, 45	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 - A ) e. CC )
47		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A =/= 1 )
48	47	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 1 =/= A )
49		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 - A ) = 0 <-> 1 = A ) )
50	9, 44, 49	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) = 0 <-> 1 = A ) )
51	50	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) =/= 0 <-> 1 =/= A ) )
52	48, 51	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 - A ) =/= 0 )
53	46, 52	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) e. CC )
54	46, 52	recne0d 10795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) =/= 0 )
55	53, 54	logcld 24317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) e. CC )
56		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A - 1 ) e. CC )
57	44, 9, 56	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( A - 1 ) e. CC )
58		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> A =/= 0 )
59	57, 44, 58	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) / A ) e. CC )
60		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A - 1 ) = 0 <-> A = 1 ) )
61	44, 9, 60	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) = 0 <-> A = 1 ) )
62	61	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) =/= 0 <-> A =/= 1 ) )
63	47, 62	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( A - 1 ) =/= 0 )
64	57, 44, 63, 58	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( A - 1 ) / A ) =/= 0 )
65	59, 64	logcld 24317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) e. CC )
66	55, 65	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. CC )
67	66	imcld 13935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR )
68		logcl 24315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
69	68	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( log ` A ) e. CC )
70	69	imcld 13935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
71	55	imcld 13935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) e. RR )
72	65	imcld 13935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. RR )
73	53, 54	logimcld 24318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) <_ pi ) )
74	73	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) )
75	59, 64	logimcld 24318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) <_ pi ) )
76	75	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) )
77	43, 43, 71, 72, 74, 76	lt2addd 10650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi + -u pi ) < ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
78		negpicn 24214	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. CC
79	78	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. -u pi ) = ( -u pi + -u pi )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) = ( -u pi + -u pi ) )
81	55, 65	imaddd 13955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
82	77, 80, 81	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. -u pi ) < ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) )
83		logimcl 24316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
84	83	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
85	84	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
86	42, 43, 67, 70, 82, 85	lt2addd 10650	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi ) < ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
87		df-3 11080	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
88	87	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 + 1 ) x. -u pi )
89	1, 9, 78	adddiri 10051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 + 1 ) x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + ( 1 x. -u pi ) )
90	78	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. -u pi ) = -u pi
91	90	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. -u pi ) + ( 1 x. -u pi ) ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi )
92	88, 89, 91	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi )
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) = ( ( 2 x. -u pi ) + -u pi ) )
94		ang180lem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) )
95	94	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( Im ` T ) = ( Im ` ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) )
96	66, 69	imaddd 13955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
97	95, 96	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
98	86, 93, 97	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) < ( Im ` T ) )
99	66, 69	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) + ( log ` A ) ) e. CC )
100	94, 99	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> T e. CC )
101		imval 13847	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. CC -> ( Im ` T ) = ( Re ` ( T / _i ) ) )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( Re ` ( T / _i ) ) )
103		ang.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( x e. ( CC \ { 0 } ) , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( Im ` ( log ` ( y / x ) ) ) )
104		ang180lem1.3	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) )
105	103, 94, 104	ang180lem1 24539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( N e. ZZ /\ ( T / _i ) e. RR ) )
106	105	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) e. RR )
107	106	rered 13964	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Re ` ( T / _i ) ) = ( T / _i ) )
108	102, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` T ) = ( T / _i ) )
109	98, 108	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. -u pi ) < ( T / _i ) )
110	39, 109	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) )
111	24	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u ( 3 / 2 ) e. RR
112	111	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( 3 / 2 ) e. RR )
113	35	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) e. RR )
114		2pos 11112	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
115		pipos 24212	. . . . . . . . 9 |- 0 < pi
116	33, 34, 114, 115	mulgt0ii 10170	. . . . . . . 8 |- 0 < ( 2 x. pi )
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 < ( 2 x. pi ) )
118		ltmuldiv 10896	. . . . . . 7 |- ( ( -u ( 3 / 2 ) e. RR /\ ( T / _i ) e. RR /\ ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. pi ) ) ) -> ( ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) ) )
119	112, 106, 113, 117, 118	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( -u ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) < ( T / _i ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) ) )
120	110, 119	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( 3 / 2 ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) )
121	22, 120	syl5eqbr 4688	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) )
122	33	renegcli 10342	. . . . . 6 |- -u 2 e. RR
123	122	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 e. RR )
124	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
125	35, 116	gt0ne0ii 10564	. . . . . . 7 |- ( 2 x. pi ) =/= 0
126	125	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
127	106, 113, 126	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) e. RR )
128	123, 124, 127	ltaddsubd 10627	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( -u 2 + ( 1 / 2 ) ) < ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) <-> -u 2 < ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
129	121, 128	mpbid 222	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 < ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) )
130	129, 104	syl6breqr 4695	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u 2 < N )
131	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> pi e. RR )
132	73	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) <_ pi )
133	75	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) <_ pi )
134	71, 72, 131, 131, 132, 133	le2addd 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( pi + pi ) )
135	26	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) = ( pi + pi ) )
137	134, 81, 136	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) )
138	84	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
139	67, 70, 113, 131, 137, 138	le2addd 10646	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( 2 x. pi ) + pi ) )
140	108, 97	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) = ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
141	87	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 x. pi ) = ( ( 2 + 1 ) x. pi )
142	1, 9, 26	adddiri 10051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 + 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + ( 1 x. pi ) )
143	26	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 x. pi ) = pi
144	143	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) + pi )
145	141, 142, 144	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + pi )
146	145	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. pi ) = ( ( 2 x. pi ) + pi ) )
147	139, 140, 146	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) )
148	36	subid1i 10353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = ( 2 x. pi )
149	148, 125	eqnetri 2864	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. pi ) - 0 ) =/= 0
150		negsub 10329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
151	9, 44, 150	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 + -u A ) = ( 1 - A ) )
153		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR+
154	146, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) + pi ) - ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
155	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
156	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> pi e. CC )
157	67	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. CC )
158	70	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
159	155, 156, 157, 158	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) + pi ) - ( ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
160	154, 159	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
162	23, 34	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 3 x. pi ) e. RR
163	162	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 3 x. pi ) e. CC
164		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- _i e. CC
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> _i e. CC )
166		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- _i =/= 0
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> _i =/= 0 )
168	100, 165, 167	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) e. CC )
169		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 3 x. pi ) e. CC /\ ( T / _i ) e. CC ) -> ( ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 <-> ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) )
170	163, 168, 169	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 <-> ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) )
171	170	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 3 x. pi ) - ( T / _i ) ) = 0 )
172	161, 171	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 )
173		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR )
174	35, 67, 173	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR )
175		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) <-> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) ) )
176	35, 67, 175	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) <-> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) <_ ( 2 x. pi ) ) )
177	137, 176	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) )
178		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
179	34, 70, 178	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
180		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
181	34, 70, 180	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) <-> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
182	138, 181	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
183		add20 10540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) ) /\ ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) ) )
184	174, 177, 179, 182, 183	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) ) )
185	184	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) + ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) )
186	172, 185	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 /\ ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 ) )
187	186	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 )
188	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
189		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( pi e. CC /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC ) -> ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 <-> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
190	26, 188, 189	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( pi - ( Im ` ( log ` A ) ) ) = 0 <-> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
191	187, 190	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> pi = ( Im ` ( log ` A ) ) )
192	191	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi )
193		lognegb 24336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
194	193	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
195	194	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( -u A e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` A ) ) = pi ) )
196	192, 195	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> -u A e. RR+ )
197		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR+ /\ -u A e. RR+ ) -> ( 1 + -u A ) e. RR+ )
198	153, 196, 197	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 + -u A ) e. RR+ )
199	152, 198	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 - A ) e. RR+ )
200	199	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( 1 / ( 1 - A ) ) e. RR+ )
201	200	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) e. RR )
202		negsubdi2 10340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( A - 1 ) = ( 1 - A ) )
203	44, 9, 202	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> -u ( A - 1 ) = ( 1 - A ) )
204	203	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( A - 1 ) / -u A ) = ( ( 1 - A ) / -u A ) )
205	57, 44, 58	div2negd 10816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u ( A - 1 ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
206	204, 205	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
207	206	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) = ( ( A - 1 ) / A ) )
208	199, 196	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 1 - A ) / -u A ) e. RR+ )
209	207, 208	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( A - 1 ) / A ) e. RR+ )
210	209	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) e. RR )
211	201, 210	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) e. RR )
212	211	reim0d 13965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) = 0 )
213	212	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) - 0 ) )
214	186	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - ( Im ` ( ( log ` ( 1 / ( 1 - A ) ) ) + ( log ` ( ( A - 1 ) / A ) ) ) ) ) = 0 )
215	213, 214	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) /\ ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) ) -> ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = 0 )
216	215	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( 3 x. pi ) = ( T / _i ) -> ( ( 2 x. pi ) - 0 ) = 0 ) )
217	216	necon3d 2815	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( 2 x. pi ) - 0 ) =/= 0 -> ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) )
218	149, 217	mpi 20	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) )
219		ltlen 10138	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T / _i ) e. RR /\ ( 3 x. pi ) e. RR ) -> ( ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) <-> ( ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) /\ ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) ) )
220	106, 162, 219	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) <-> ( ( T / _i ) <_ ( 3 x. pi ) /\ ( 3 x. pi ) =/= ( T / _i ) ) ) )
221	147, 218, 220	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) < ( 3 x. pi ) )
222	221, 31	syl6breqr 4695	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
223	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( 3 / 2 ) e. RR )
224		ltdivmul2 10900	. . . . . . 7 |- ( ( ( T / _i ) e. RR /\ ( 3 / 2 ) e. RR /\ ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. pi ) ) ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) <-> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
225	106, 223, 113, 117, 224	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) <-> ( T / _i ) < ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
226	222, 225	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 3 / 2 ) )
227	87	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( 3 / 2 ) = ( ( 2 + 1 ) / 2 )
228	1, 9, 1, 28	divdiri 10782	. . . . . 6 |- ( ( 2 + 1 ) / 2 ) = ( ( 2 / 2 ) + ( 1 / 2 ) )
229		2div2e1 11150	. . . . . . 7 |- ( 2 / 2 ) = 1
230	229	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( 2 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 + ( 1 / 2 ) )
231	227, 228, 230	3eqtri 2648	. . . . 5 |- ( 3 / 2 ) = ( 1 + ( 1 / 2 ) )
232	226, 231	syl6breq 4694	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 1 + ( 1 / 2 ) ) )
233	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> 1 e. RR )
234	127, 124, 233	ltsubaddd 10623	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) < 1 <-> ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) < ( 1 + ( 1 / 2 ) ) ) )
235	232, 234	mpbird 247	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( ( ( T / _i ) / ( 2 x. pi ) ) - ( 1 / 2 ) ) < 1 )
236	104, 235	syl5eqbr 4688	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> N < 1 )
237	130, 236	jca 554	1 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ A =/= 1 ) -> ( -u 2 < N /\ N < 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   ZZcz 11377   RR+crp 11832   Recre 13837   Imcim 13838   picpi 14797   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  ang180lem3  24541