Theorem chfacfisfcpmat 20660

Description: The "characteristic factor function" is a function from the nonnegative integers to constant polynomial matrices. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chfacfisf.a	|- A = ( N Mat R )
chfacfisf.b	|- B = ( Base ` A )
chfacfisf.p	|- P = (Poly1 ` R )
chfacfisf.y	|- Y = ( N Mat P )
chfacfisf.r	|- .X. = ( .r ` Y )
chfacfisf.s	|- .- = ( -g ` Y )
chfacfisf.0	|- .0. = ( 0g ` Y )
chfacfisf.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
chfacfisf.g	|- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
chfacfisfcpmat.s	|- S = ( N ConstPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
chfacfisfcpmat	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> S )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   n, Y   n, b   n, s   S, n

Allowed substitution hints:   A( n, s, b)   B( s, b)   P( n, s, b)   R( s, b)   S( s, b)   T( n, s, b)   .X. ( n, s, b)   G( n, s, b)   M( s, b)   .- ( n, s, b)   N( s, b)   Y( s, b)   .0. ( n, s, b)

Proof of Theorem chfacfisfcpmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chfacfisfcpmat.s	. . . . . . . 8 |- S = ( N ConstPolyMat R )
2		chfacfisf.p	. . . . . . . 8 |- P = (Poly1 ` R )
3		chfacfisf.y	. . . . . . . 8 |- Y = ( N Mat P )
4	1, 2, 3	cpmatsubgpmat 20525	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubGrp ` Y ) )
5	4	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> S e. (SubGrp ` Y ) )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> S e. (SubGrp ` Y ) )
7		subgsubm 17616	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubGrp ` Y ) -> S e. (SubMnd ` Y ) )
8		chfacfisf.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` Y )
9	8	subm0cl 17352	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubMnd ` Y ) -> .0. e. S )
10	5, 7, 9	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> .0. e. S )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> .0. e. S )
12	1, 2, 3	cpmatsrgpmat 20526	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubRing ` Y ) )
13	12	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> S e. (SubRing ` Y ) )
14	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> S e. (SubRing ` Y ) )
15		chfacfisf.t	. . . . . . . 8 |- T = ( N matToPolyMat R )
16		chfacfisf.a	. . . . . . . 8 |- A = ( N Mat R )
17		chfacfisf.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` A )
18	1, 15, 16, 17	m2cpm 20546	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. S )
19	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( T ` M ) e. S )
20		3simpa 1058	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
21		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
23		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. NN -> s e. NN0 )
24		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
25	23, 24	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. NN -> s e. ( ZZ>= ` 0 ) )
26		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... s ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. NN -> 0 e. ( 0 ... s ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> 0 e. ( 0 ... s ) )
29	22, 28	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( b ` 0 ) e. B )
30	20, 29	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( b ` 0 ) e. B ) )
31		df-3an 1039	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` 0 ) e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( b ` 0 ) e. B ) )
32	30, 31	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` 0 ) e. B ) )
33	1, 15, 16, 17	m2cpm 20546	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` 0 ) e. B ) -> ( T ` ( b ` 0 ) ) e. S )
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( T ` ( b ` 0 ) ) e. S )
35		chfacfisf.r	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` Y )
36	35	subrgmcl 18792	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubRing ` Y ) /\ ( T ` M ) e. S /\ ( T ` ( b ` 0 ) ) e. S ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) e. S )
37	14, 19, 34, 36	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) e. S )
38		chfacfisf.s	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` Y )
39	38	subgsubcl 17605	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` Y ) /\ .0. e. S /\ ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) e. S ) -> ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) e. S )
40	6, 11, 37, 39	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) e. S )
41	40	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n = 0 ) -> ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) e. S )
42		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> N e. Fin )
43		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> R e. Ring )
44	22	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
45		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ZZ>= ` 0 ) -> s e. ( 0 ... s ) )
46	25, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( s e. NN -> s e. ( 0 ... s ) )
47	46	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> s e. ( 0 ... s ) )
48	44, 47	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( b ` s ) e. B )
49	1, 15, 16, 17	m2cpm 20546	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` s ) e. B ) -> ( T ` ( b ` s ) ) e. S )
50	42, 43, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( T ` ( b ` s ) ) e. S )
51	50	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( b ` s ) ) e. S )
52	51	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n = ( s + 1 ) ) -> ( T ` ( b ` s ) ) e. S )
53	11	ad4antr 768	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ ( s + 1 ) < n ) -> .0. e. S )
54		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> n e. RR )
56		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. NN )
57	56	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. RR )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( s + 1 ) e. RR )
59	55, 58	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( n <_ ( s + 1 ) <-> -. ( s + 1 ) < n ) )
60		nesym 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s + 1 ) =/= n <-> -. n = ( s + 1 ) )
61		ltlen 10138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. RR /\ ( s + 1 ) e. RR ) -> ( n < ( s + 1 ) <-> ( n <_ ( s + 1 ) /\ ( s + 1 ) =/= n ) ) )
62	54, 57, 61	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( n < ( s + 1 ) <-> ( n <_ ( s + 1 ) /\ ( s + 1 ) =/= n ) ) )
63	62	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( ( n <_ ( s + 1 ) /\ ( s + 1 ) =/= n ) -> n < ( s + 1 ) ) )
64	63	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( ( s + 1 ) =/= n -> ( n <_ ( s + 1 ) -> n < ( s + 1 ) ) ) )
65	60, 64	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( -. n = ( s + 1 ) -> ( n <_ ( s + 1 ) -> n < ( s + 1 ) ) ) )
66	65	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( n <_ ( s + 1 ) -> ( -. n = ( s + 1 ) -> n < ( s + 1 ) ) ) )
67	59, 66	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( -. ( s + 1 ) < n -> ( -. n = ( s + 1 ) -> n < ( s + 1 ) ) ) )
68	67	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( -. n = ( s + 1 ) -> ( -. ( s + 1 ) < n -> n < ( s + 1 ) ) ) )
69	68	impd 447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( ( -. n = ( s + 1 ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> n < ( s + 1 ) ) )
70	69	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. NN -> ( n e. NN0 -> ( ( -. n = ( s + 1 ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> n < ( s + 1 ) ) ) )
71	70	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( n e. NN0 -> ( ( -. n = ( s + 1 ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> n < ( s + 1 ) ) ) )
72	71	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( -. n = ( s + 1 ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> n < ( s + 1 ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) -> ( ( -. n = ( s + 1 ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> n < ( s + 1 ) ) )
74	5	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> S e. (SubGrp ` Y ) )
75	20	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
76	22	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
77		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> n = 0 )
78	77	necon3bi 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. n = 0 -> n =/= 0 )
79	78	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ -. n = 0 ) -> ( n e. NN0 /\ n =/= 0 ) )
80		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN <-> ( n e. NN0 /\ n =/= 0 ) )
81	79, 80	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ -. n = 0 ) -> n e. NN )
82		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ -. n = 0 ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
84	83	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
86	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> s e. NN0 )
87	86	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> s e. NN0 )
88	62	simprbda 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> n <_ ( s + 1 ) )
89	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> n e. RR )
90		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> 1 e. RR )
91		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. NN -> s e. RR )
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> s e. RR )
93	89, 90, 92	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( ( n - 1 ) <_ s <-> n <_ ( s + 1 ) ) )
94	88, 93	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( n - 1 ) <_ s )
95	94	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> ( n e. NN0 -> ( n < ( s + 1 ) -> ( n - 1 ) <_ s ) ) )
96	95	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( n e. NN0 -> ( n < ( s + 1 ) -> ( n - 1 ) <_ s ) ) )
97	96	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( n < ( s + 1 ) -> ( n - 1 ) <_ s ) )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) -> ( n < ( s + 1 ) -> ( n - 1 ) <_ s ) )
99	98	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( n - 1 ) <_ s )
100		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n - 1 ) e. ( 0 ... s ) <-> ( ( n - 1 ) e. NN0 /\ s e. NN0 /\ ( n - 1 ) <_ s ) )
101	85, 87, 99, 100	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( n - 1 ) e. ( 0 ... s ) )
102	76, 101	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( b ` ( n - 1 ) ) e. B )
103		df-3an 1039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` ( n - 1 ) ) e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( b ` ( n - 1 ) ) e. B ) )
104	75, 102, 103	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` ( n - 1 ) ) e. B ) )
105	1, 15, 16, 17	m2cpm 20546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` ( n - 1 ) ) e. B ) -> ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) e. S )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) e. S )
107	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> S e. (SubRing ` Y ) )
108	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( T ` M ) e. S )
109	20, 86	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ s e. NN0 ) )
110		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ s e. NN0 ) )
111	109, 110	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) )
112	111	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) )
113	112	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> N e. Fin )
114	112	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> R e. Ring )
115	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
116		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> n e. NN0 )
117	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> s e. NN0 )
118		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
119		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. NN -> s e. ZZ )
120		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ZZ /\ s e. ZZ ) -> ( n <_ s <-> n < ( s + 1 ) ) )
121	118, 119, 120	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( n <_ s <-> n < ( s + 1 ) ) )
122	121	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> n <_ s )
123		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 0 ... s ) <-> ( n e. NN0 /\ s e. NN0 /\ n <_ s ) )
124	116, 117, 122, 123	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s e. NN /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> n e. ( 0 ... s ) )
125	124	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. NN -> ( n e. NN0 -> ( n < ( s + 1 ) -> n e. ( 0 ... s ) ) ) )
126	125	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( n e. NN0 -> ( n < ( s + 1 ) -> n e. ( 0 ... s ) ) ) )
127	126	imp31 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> n e. ( 0 ... s ) )
128	115, 127	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( b ` n ) e. B )
129	1, 15, 16, 17	m2cpm 20546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` n ) e. B ) -> ( T ` ( b ` n ) ) e. S )
130	113, 114, 128, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( T ` ( b ` n ) ) e. S )
131	35	subrgmcl 18792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. (SubRing ` Y ) /\ ( T ` M ) e. S /\ ( T ` ( b ` n ) ) e. S ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) e. S )
132	107, 108, 130, 131	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) e. S )
133	132	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) e. S )
134	38	subgsubcl 17605	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. (SubGrp ` Y ) /\ ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) e. S /\ ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) e. S ) -> ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) e. S )
135	74, 106, 133, 134	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ n < ( s + 1 ) ) -> ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) e. S )
136	135	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) -> ( n < ( s + 1 ) -> ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) e. S ) )
137	73, 136	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) -> ( ( -. n = ( s + 1 ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) e. S ) )
138	137	impl 650	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) /\ -. ( s + 1 ) < n ) -> ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) e. S )
139	53, 138	ifclda 4120	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) /\ -. n = ( s + 1 ) ) -> if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) e. S )
140	52, 139	ifclda 4120	. . 3 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ -. n = 0 ) -> if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) e. S )
141	41, 140	ifclda 4120	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) e. S )
142		chfacfisf.g	. 2 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
143	141, 142	fmptd 6385	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100  SubMndcsubmnd 17334   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   Ringcrg 18547  SubRingcsubrg 18776  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   ConstPolyMat ccpmat 20508   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-cpmat 20511  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  cpmadumatpolylem1  20686  cpmadumatpolylem2  20687  cpmadumatpoly  20688  chcoeffeqlem  20690  cayhamlem4  20693