Theorem nn0lt2 11440

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	|- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 399	. . 3 |- ( N = 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
2	1	a1d 25	. 2 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
3		nn0z 11400	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4		2z 11409	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
5		zltlem1 11430	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ ( 2 - 1 ) ) )
7		2m1e1 11135	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
8	7	breq2i 4661	. . . . . 6 |- ( N <_ ( 2 - 1 ) <-> N <_ 1 )
9	6, 8	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 <-> N <_ 1 ) )
10		necom 2847	. . . . . 6 |- ( N =/= 1 <-> 1 =/= N )
11		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
12		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
13		ltlen 10138	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
14	11, 12, 13	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) ) )
15		nn0lt10b 11439	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 <-> N = 0 ) )
16	15	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> N = 0 )
17	16	orcd 407	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 1 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )
18	17	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N < 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
19	14, 18	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( N <_ 1 /\ 1 =/= N ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
20	19	expd 452	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( 1 =/= N -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
21	10, 20	syl7bi 245	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N <_ 1 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
22	9, 21	sylbid 230	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N < 2 -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) ) )
23	22	imp 445	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N =/= 1 -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
24	23	com12 32	. 2 |- ( N =/= 1 -> ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) ) )
25	2, 24	pm2.61ine 2877	1 |- ( ( N e. NN0 /\ N < 2 ) -> ( N = 0 \/ N = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by: (None)