Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzopredsuc Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem fzopredsuc 41333
Description: Join a predecessor and a successor to the beginning and the end of an open integer interval. This theorem holds even if N = M (then ( M ... N ) = { M } = ( { M } u. (/) ) u. { M } ). (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzopredsuc |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) )
Proof of Theorem fzopredsuc
StepHypRef Expression
1 unidm 3756 . . . . . 6 |- ( { N } u. { N } ) = { N }
21eqcomi 2631 . . . . 5 |- { N } = ( { N } u. { N } )
3 oveq1 6657 . . . . . 6 |- ( M = N -> ( M ... N ) = ( N ... N ) )
4 fzsn 12383 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N ... N ) = { N } )
53, 4sylan9eqr 2678 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M = N ) -> ( M ... N ) = { N } )
6 sneq 4187 . . . . . . . 8 |- ( M = N -> { M } = { N } )
7 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( M = N -> ( M + 1 ) = ( N + 1 ) )
87oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( M = N -> ( ( M + 1 )..^ N ) = ( ( N + 1 )..^ N ) )
96, 8uneq12d 3768 . . . . . . 7 |- ( M = N -> ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) = ( { N } u. ( ( N + 1 )..^ N ) ) )
109uneq1d 3766 . . . . . 6 |- ( M = N -> ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) = ( ( { N } u. ( ( N + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) )
11 zre 11381 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
1211lep1d 10955 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N + 1 ) )
13 peano2z 11418 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
1413zred 11482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. RR )
1511, 14lenltd 10183 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> ( N <_ ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) < N ) )
1612, 15mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> -. ( N + 1 ) < N )
17 fzonlt0 12491 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. ( N + 1 ) < N <-> ( ( N + 1 )..^ N ) = (/) ) )
1813, 17mpancom 703 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( N + 1 ) < N <-> ( ( N + 1 )..^ N ) = (/) ) )
1916, 18mpbid 222 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( N + 1 )..^ N ) = (/) )
2019uneq2d 3767 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( { N } u. ( ( N + 1 )..^ N ) ) = ( { N } u. (/) ) )
21 un0 3967 . . . . . . . 8 |- ( { N } u. (/) ) = { N }
2220, 21syl6eq 2672 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( { N } u. ( ( N + 1 )..^ N ) ) = { N } )
2322uneq1d 3766 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( { N } u. ( ( N + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) = ( { N } u. { N } ) )
2410, 23sylan9eqr 2678 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M = N ) -> ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) = ( { N } u. { N } ) )
252, 5, 243eqtr4a 2682 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M = N ) -> ( M ... N ) = ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) )
2625ex 450 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( M = N -> ( M ... N ) = ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) ) )
27 eluzelz 11697 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2826, 27syl11 33 . 2 |- ( M = N -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) ) )
29 fzisfzounsn 12580 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( M..^ N ) u. { N } ) )
3029adantl 482 . . . 4 |- ( ( -. M = N /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... N ) = ( ( M..^ N ) u. { N } ) )
31 eluz2 11693 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
32 simpl1 1064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) /\ -. M = N ) -> M e. ZZ )
33 simpl2 1065 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) /\ -. M = N ) -> N e. ZZ )
34 nesym 2850 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N =/= M <-> -. M = N )
35 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
36 ltlen 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N <-> ( M <_ N /\ N =/= M ) ) )
3735, 11, 36syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( M <_ N /\ N =/= M ) ) )
3837biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ N /\ N =/= M ) -> M < N ) )
3938exp4b 632 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> ( N =/= M -> M < N ) ) ) )
40393imp 1256 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N =/= M -> M < N ) )
4134, 40syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( -. M = N -> M < N ) )
4241imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) /\ -. M = N ) -> M < N )
4332, 33, 423jca 1242 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) /\ -. M = N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
4443ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( -. M = N -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) ) )
4531, 44sylbi 207 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( -. M = N -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) ) )
4645impcom 446 . . . . . 6 |- ( ( -. M = N /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
47 fzopred 41332 . . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M < N ) -> ( M..^ N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . 5 |- ( ( -. M = N /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M..^ N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) )
4948uneq1d 3766 . . . 4 |- ( ( -. M = N /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( M..^ N ) u. { N } ) = ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) )
5030, 49eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( -. M = N /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... N ) = ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) )
5150ex 450 . 2 |- ( -. M = N -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) ) )
5228, 51pm2.61i 176 1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) = ( ( { M } u. ( ( M + 1 )..^ N ) ) u. { N } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  1fzopredsuc  41334  sbgoldbo  41675
  Copyright terms: Public domain W3C validator