Theorem iccpartiltu 41358

Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly less than the upper bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	|- ( ph -> M e. NN )
iccpartgtprec.p	|- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
iccpartiltu	|- ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )

Distinct variable groups:   i, M   P, i   ph, i

Proof of Theorem iccpartiltu

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
2		ral0 4076	. . . . 5 |- A. i e. (/) ( P ` i ) < ( P ` 1 )
3		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( M = 1 -> ( 1..^ M ) = ( 1..^ 1 ) )
4		fzo0 12492	. . . . . . 7 |- ( 1..^ 1 ) = (/)
5	3, 4	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( M = 1 -> ( 1..^ M ) = (/) )
6		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( M = 1 -> ( P ` M ) = ( P ` 1 ) )
7	6	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( M = 1 -> ( ( P ` i ) < ( P ` M ) <-> ( P ` i ) < ( P ` 1 ) ) )
8	5, 7	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( M = 1 -> ( A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) <-> A. i e. (/) ( P ` i ) < ( P ` 1 ) ) )
9	2, 8	mpbiri 248	. . . 4 |- ( M = 1 -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )
10	9	2a1d 26	. . 3 |- ( M = 1 -> ( ph -> ( M e. NN -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
11		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
12		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. (RePart ` M ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> P e. (RePart ` M ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> P e. (RePart ` M ) )
15		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
16		nn0fz0 12437	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 <-> M e. ( 0 ... M ) )
17	15, 16	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ( 0 ... M ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M e. ( 0 ... M ) )
19	11, 14, 18	iccpartxr 41355	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> ( P ` M ) e. RR* )
20		elxr 11950	. . . . . . 7 |- ( ( P ` M ) e. RR* <-> ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) )
21		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ZZ )
22	21	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> i e. ZZ )
23		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
24		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> i e. ZZ )
25	24	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
26	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
27		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> M e. ZZ )
28		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( i < M <-> ( i + 1 ) <_ M ) )
29	24, 28	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ ) -> ( i < M <-> ( i + 1 ) <_ M ) )
30	29	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( i + 1 ) <_ M )
31		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( i + 1 ) <_ M ) )
32	26, 27, 30, 31	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
33	23, 32	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
34	33	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = M -> ( P ` k ) = ( P ` M ) )
36	35	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = M -> ( P ` M ) = ( P ` k ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = M -> ( ( P ` M ) e. RR <-> ( P ` k ) e. RR ) )
38	37	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` M ) e. RR -> ( k = M -> ( P ` k ) e. RR ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( k = M -> ( P ` k ) e. RR ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( k = M -> ( P ` k ) e. RR ) )
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = M -> ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) )
42	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> M e. NN )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> M e. NN )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> M e. NN )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. k = M /\ ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) ) -> M e. NN )
46	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. k = M /\ ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
50		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( i ... M ) <-> ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) )
51		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 1 <_ i ) )
52		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 1 e. RR )
53		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( i e. ZZ -> i e. RR )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> i e. RR )
55		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
57		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( 1 e. RR /\ i e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
58	52, 54, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ i /\ i <_ k ) -> 1 <_ k ) )
59	58	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( i <_ k -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) ) )
60	59	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( i e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( i <_ k /\ k <_ M ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) ) )
61	60	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( i <_ k /\ k <_ M ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) ) )
62	61	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> ( 1 <_ i -> 1 <_ k ) )
63	62	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 1 <_ i -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
64	63	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 1 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 1 <_ i ) -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
65	51, 64	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
66	65	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
67	23, 66	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> 1 <_ k ) )
68	50, 67	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... M ) -> 1 <_ k ) )
69	68	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> 1 <_ k )
70	69	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> 1 <_ k )
71		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
72	71, 55	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. RR /\ M e. RR ) )
73	72	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. RR /\ M e. RR ) )
74		ltlen 10138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( k e. RR /\ M e. RR ) -> ( k < M <-> ( k <_ M /\ M =/= k ) ) )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k < M <-> ( k <_ M /\ M =/= k ) ) )
76		nesym 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M =/= k <-> -. k = M )
77	76	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( k <_ M /\ M =/= k ) <-> ( k <_ M /\ -. k = M ) )
78	75, 77	syl6rbb 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k <_ M /\ -. k = M ) <-> k < M ) )
79	78	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k <_ M /\ -. k = M ) -> k < M ) )
80	79	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k <_ M -> ( -. k = M -> k < M ) ) )
81	80	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( i <_ k /\ k <_ M ) -> ( -. k = M -> k < M ) ) )
82	81	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( i <_ k /\ k <_ M ) ) -> ( -. k = M -> k < M ) )
83	50, 82	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... M ) -> ( -. k = M -> k < M ) )
84	83	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> k < M )
85	84	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> k < M )
86	70, 85	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> ( 1 <_ k /\ k < M ) )
87		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... M ) -> k e. ZZ )
88		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... M ) -> 1 e. ZZ )
89		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( i ... M ) -> M e. ZZ )
90	87, 88, 89	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( i ... M ) -> ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
91	90	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
92		elfzo 12472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( 1..^ M ) <-> ( 1 <_ k /\ k < M ) ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> ( k e. ( 1..^ M ) <-> ( 1 <_ k /\ k < M ) ) )
94	86, 93	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... M ) /\ -. k = M ) -> k e. ( 1..^ M ) )
95	94	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... M ) -> ( -. k = M -> k e. ( 1..^ M ) ) ) )
96	95	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( k e. ( i ... M ) -> ( -. k = M -> k e. ( 1..^ M ) ) ) )
97	96	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( -. k = M -> k e. ( 1..^ M ) ) )
98	97	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. k = M /\ ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
99	45, 49, 98	iccpartipre 41357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. k = M /\ ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
100	99	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. k = M -> ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( P ` k ) e. RR ) )
101	41, 100	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... M ) ) -> ( P ` k ) e. RR )
102	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. NN )
103	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
104		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
105		fzoss1 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1..^ M ) C_ ( 0..^ M ) )
106	104, 105	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( 1..^ M ) C_ ( 0..^ M ) )
107		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> M e. ZZ )
108		fzoval 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M e. ZZ -> ( i..^ M ) = ( i ... ( M - 1 ) ) )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( i..^ M ) = ( i ... ( M - 1 ) ) )
110	109	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( i ... ( M - 1 ) ) = ( i..^ M ) )
111	110	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... ( M - 1 ) ) <-> k e. ( i..^ M ) ) )
112		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
113		fzoss1 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( i..^ M ) C_ ( 1..^ M ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( i..^ M ) C_ ( 1..^ M ) )
115	114	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i..^ M ) -> k e. ( 1..^ M ) ) )
116	111, 115	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> k e. ( 1..^ M ) ) )
117	116	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. ( 1..^ M ) )
118	106, 117	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 1..^ M ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
119	118	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> ( k e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
120	119	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( k e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> k e. ( 0..^ M ) ) )
121	120	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
122		iccpartimp 41353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` M ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
123	102, 103, 121, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
124	123	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) /\ k e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( P ` k ) < ( P ` ( k + 1 ) ) )
125	22, 34, 101, 124	smonoord 41341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` M ) e. RR /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
126	125	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` M ) e. RR -> ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
127		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> i e. ( 1..^ M ) )
128	42, 46, 127	iccpartipre 41357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) e. RR )
129		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` i ) e. RR -> ( P ` i ) < +oo )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < +oo )
131		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` M ) = +oo -> ( ( P ` i ) < ( P ` M ) <-> ( P ` i ) < +oo ) )
132	130, 131	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` M ) = +oo -> ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
133	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> M e. NN )
134	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> P e. (RePart ` M ) )
135		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1..^ M ) -> i e. ( 1 ... M ) )
136	135	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
137		elfzubelfz 12353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1 ... M ) -> M e. ( 1 ... M ) )
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> M e. ( 1 ... M ) )
139	133, 134, 138	iccpartgtprec 41356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` ( M - 1 ) ) < ( P ` M ) )
140		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -oo = ( P ` M ) -> ( ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo <-> ( P ` ( M - 1 ) ) < ( P ` M ) ) )
141	140	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` M ) = -oo -> ( ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo <-> ( P ` ( M - 1 ) ) < ( P ` M ) ) )
142	141	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo <-> ( P ` ( M - 1 ) ) < ( P ` M ) ) )
143	139, 142	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo )
144	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M e. NN0 )
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> M e. NN0 )
146		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M =/= 0 )
148		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( M =/= 1 <-> -. M = 1 )
149	148	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. M = 1 -> M =/= 1 )
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> M =/= 1 )
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> M =/= 1 )
152	144, 147, 151	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> ( M e. NN0 /\ M =/= 0 /\ M =/= 1 ) )
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( M e. NN0 /\ M =/= 0 /\ M =/= 1 ) )
154		nn0n0n1ge2 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ M =/= 0 /\ M =/= 1 ) -> 2 <_ M )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> 2 <_ M )
156	145, 155	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( M e. NN0 /\ 2 <_ M ) )
157	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( M e. NN0 /\ 2 <_ M ) )
158		ige2m1fz 12430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ 2 <_ M ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... M ) )
159	157, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( M - 1 ) e. ( 0 ... M ) )
160	133, 134, 159	iccpartxr 41355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` ( M - 1 ) ) e. RR* )
161		nltmnf 11963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ` ( M - 1 ) ) e. RR* -> -. ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo )
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> -. ( P ` ( M - 1 ) ) < -oo )
163	143, 162	pm2.21dd 186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ` M ) = -oo /\ ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
164	163	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ` M ) = -oo -> ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
165	126, 132, 164	3jaoi 1391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) -> ( ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
166	165	impl 650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) /\ ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) ) /\ i e. ( 1..^ M ) ) -> ( P ` i ) < ( P ` M ) )
167	166	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) /\ ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )
168	167	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ` M ) e. RR \/ ( P ` M ) = +oo \/ ( P ` M ) = -oo ) -> ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
169	20, 168	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( ( P ` M ) e. RR* -> ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
170	19, 169	mpcom 38	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. M = 1 ) /\ M e. NN ) -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )
171	170	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = 1 ) -> ( M e. NN -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
172	171	expcom 451	. . 3 |- ( -. M = 1 -> ( ph -> ( M e. NN -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) ) )
173	10, 172	pm2.61i 176	. 2 |- ( ph -> ( M e. NN -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) ) )
174	1, 173	mpd 15	1 |- ( ph -> A. i e. ( 1..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  RePartciccp 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-iccp 41350

This theorem is referenced by:  iccpartlt  41360  iccpartltu  41361  iccpartgt  41363