Theorem monotoddzz 37508

Description: A function (given implicitly) which is odd and monotonic on NN0 is monotonic on ZZ. This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monotoddzz.1	|- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> E < F ) )
monotoddzz.2	|- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> E e. RR )
monotoddzz.3	|- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> G = -u F )
monotoddzz.4	|- ( x = A -> E = C )
monotoddzz.5	|- ( x = B -> E = D )
monotoddzz.6	|- ( x = y -> E = F )
monotoddzz.7	|- ( x = -u y -> E = G )

Assertion

Ref	Expression
monotoddzz	|- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> C < D ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, A, y   x, B, y   y, E   x, C, y   x, D, y   x, F   x, G

Allowed substitution hints:   E( x)   F( y)   G( y)

Proof of Theorem monotoddzz

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ a e. ZZ )
2		nffvmpt1 6199	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a )
3	2	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ x ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) e. RR
4	1, 3	nfim 1825	. . . 4 |- F/ x ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) e. RR )
5		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. ZZ <-> a e. ZZ ) )
6	5	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ a e. ZZ ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) = ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) )
8	7	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) e. RR <-> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) e. RR ) )
9	6, 8	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) e. RR ) ) )
10		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> x e. ZZ )
11		monotoddzz.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> E e. RR )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ |-> E ) = ( x e. ZZ |-> E )
13	12	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ E e. RR ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) = E )
14	10, 11, 13	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) = E )
15	14, 11	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) e. RR )
16	4, 9, 15	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) e. RR )
17		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( y = a -> ( y e. ZZ <-> a e. ZZ ) )
18	17	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( y = a -> ( ( ph /\ y e. ZZ ) <-> ( ph /\ a e. ZZ ) ) )
19		negeq 10273	. . . . . . 7 |- ( y = a -> -u y = -u a )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = a -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u y ) = ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u a ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = a -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) )
22	21	negeqd 10275	. . . . . 6 |- ( y = a -> -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) )
23	20, 22	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( y = a -> ( ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u y ) = -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) <-> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u a ) = -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) ) )
24	18, 23	imbi12d 334	. . . 4 |- ( y = a -> ( ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u y ) = -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) ) <-> ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u a ) = -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) ) ) )
25		monotoddzz.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> G = -u F )
26		znegcl 11412	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
27	26	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> -u y e. ZZ )
28		negex 10279	. . . . . . . 8 |- -u y e. _V
29		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u y -> ( x e. ZZ <-> -u y e. ZZ ) )
30	29	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u y -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ -u y e. ZZ ) ) )
31		monotoddzz.7	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u y -> E = G )
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u y -> ( E e. RR <-> G e. RR ) )
33	30, 32	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = -u y -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> E e. RR ) <-> ( ( ph /\ -u y e. ZZ ) -> G e. RR ) ) )
34	28, 33, 11	vtocl 3259	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -u y e. ZZ ) -> G e. RR )
35	26, 34	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> G e. RR )
36	31, 12	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( -u y e. ZZ /\ G e. RR ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u y ) = G )
37	27, 35, 36	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u y ) = G )
38		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> y e. ZZ )
39		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. ZZ <-> y e. ZZ ) )
40	39	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ y e. ZZ ) ) )
41		monotoddzz.6	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> E = F )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( E e. RR <-> F e. RR ) )
43	40, 42	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> E e. RR ) <-> ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> F e. RR ) ) )
44	43, 11	chvarv 2263	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> F e. RR )
45	41, 12	fvmptg 6280	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ F e. RR ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = F )
46	38, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = F )
47	46	negeqd 10275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = -u F )
48	25, 37, 47	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u y ) = -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) )
49	24, 48	chvarv 2263	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` -u a ) = -u ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) )
50		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 )
51		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x a < b
52		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x <
53		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b )
54	2, 52, 53	nfbr 4699	. . . . . 6 |- F/ x ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b )
55	51, 54	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ x ( a < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) )
56	50, 55	nfim 1825	. . . 4 |- F/ x ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) )
57		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x e. NN0 <-> a e. NN0 ) )
58	57	3anbi2d 1404	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ b e. NN0 ) <-> ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) )
59		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x < b <-> a < b ) )
60	7	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) <-> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) )
61	59, 60	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( x < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) <-> ( a < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) ) )
62	58, 61	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( x < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) ) <-> ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) ) ) )
63		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = b -> ( y e. NN0 <-> b e. NN0 ) )
64	63	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( y = b -> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) <-> ( ph /\ x e. NN0 /\ b e. NN0 ) ) )
65		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( y = b -> ( x < y <-> x < b ) )
66		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) )
67	66	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) <-> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) )
68	65, 67	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( y = b -> ( ( x < y -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) ) <-> ( x < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) ) )
69	64, 68	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = b -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ x e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( x < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) ) ) )
70		monotoddzz.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> E < F ) )
71		nn0z 11400	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
72	71, 14	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) = E )
73	72	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) = E )
74		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ph /\ y e. NN0 )
75		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y )
76	75	nfeq1 2778	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = F
77	74, 76	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = F )
78		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
79	78	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. NN0 ) <-> ( ph /\ y e. NN0 ) ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) = ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) )
81	80, 41	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) = E <-> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = F ) )
82	79, 81	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. NN0 ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) = E ) <-> ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = F ) ) )
83	77, 82, 72	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = F )
84	83	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) = F )
85	73, 84	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) <-> E < F ) )
86	70, 85	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x < y -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` y ) ) )
87	69, 86	chvarv 2263	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( x < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` x ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) )
88	56, 62, 87	chvar 2262	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a < b -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` a ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` b ) ) )
89	16, 49, 88	monotoddzzfi 37507	. 2 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` A ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` B ) ) )
90		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> A e. ZZ )
91		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x e. ZZ <-> A e. ZZ ) )
92	91	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ A e. ZZ ) ) )
93		monotoddzz.4	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> E = C )
94	93	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( E e. RR <-> C e. RR ) )
95	92, 94	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> E e. RR ) <-> ( ( ph /\ A e. ZZ ) -> C e. RR ) ) )
96	95, 11	vtoclg 3266	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( ( ph /\ A e. ZZ ) -> C e. RR ) )
97	96	anabsi7 860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. ZZ ) -> C e. RR )
98	97	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> C e. RR )
99	93, 12	fvmptg 6280	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. RR ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` A ) = C )
100	90, 98, 99	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` A ) = C )
101		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
102		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( x e. ZZ <-> B e. ZZ ) )
103	102	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( ph /\ x e. ZZ ) <-> ( ph /\ B e. ZZ ) ) )
104		monotoddzz.5	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> E = D )
105	104	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( E e. RR <-> D e. RR ) )
106	103, 105	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> E e. RR ) <-> ( ( ph /\ B e. ZZ ) -> D e. RR ) ) )
107	106, 11	vtoclg 3266	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( ( ph /\ B e. ZZ ) -> D e. RR ) )
108	107	anabsi7 860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. ZZ ) -> D e. RR )
109	108	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> D e. RR )
110	104, 12	fvmptg 6280	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ D e. RR ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` B ) = D )
111	101, 109, 110	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> E ) ` B ) = D )
112	100, 111	breq12d 4666	. 2 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( x e. ZZ |-> E ) ` A ) < ( ( x e. ZZ |-> E ) ` B ) <-> C < D ) )
113	89, 112	bitrd 268	1 |- ( ( ph /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> C < D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   RRcr 9935   < clt 10074   -ucneg 10267   NN0cn0 11292   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  ltrmy  37519