Theorem mplmon2 19493

Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon2.p	|- P = ( I mPoly R )
mplmon2.v	|- .x. = ( .s ` P )
mplmon2.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplmon2.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mplmon2.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplmon2.b	|- B = ( Base ` R )
mplmon2.i	|- ( ph -> I e. W )
mplmon2.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mplmon2.k	|- ( ph -> K e. D )
mplmon2.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
mplmon2	|- ( ph -> ( X .x. ( y e. D |-> if ( y = K , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = K , X , .0. ) ) )

Distinct variable groups:   ph, y   y, B   y, D   f, I   f, K, y   y, .1.   y, R   y, X   y, .0.

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   P( y, f)   R( f)   .x. ( y, f)   .1. ( f)   I( y)   W( y, f)   X( f)   .0. ( f)

Proof of Theorem mplmon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon2.p	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
2		mplmon2.v	. . 3 |- .x. = ( .s ` P )
3		mplmon2.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6		mplmon2.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7		mplmon2.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
8		mplmon2.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
9		mplmon2.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
10		mplmon2.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. W )
11		mplmon2.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
12		mplmon2.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. D )
13	1, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12	mplmon 19463	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = K , .1. , .0. ) ) e. ( Base ` P ) )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13	mplvsca 19447	. 2 |- ( ph -> ( X .x. ( y e. D |-> if ( y = K , .1. , .0. ) ) ) = ( ( D X. { X } ) oF ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = K , .1. , .0. ) ) ) )
15		ovex 6678	. . . . 5 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
16	6, 15	rabex2 4815	. . . 4 |- D e. _V
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
18	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> X e. B )
19		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) e. _V
20	9, 19	eqeltri 2697	. . . . 5 |- .1. e. _V
21		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) e. _V
22	8, 21	eqeltri 2697	. . . . 5 |- .0. e. _V
23	20, 22	ifex 4156	. . . 4 |- if ( y = K , .1. , .0. ) e. _V
24	23	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> if ( y = K , .1. , .0. ) e. _V )
25		fconstmpt 5163	. . . 4 |- ( D X. { X } ) = ( y e. D |-> X )
26	25	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( D X. { X } ) = ( y e. D |-> X ) )
27		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> if ( y = K , .1. , .0. ) ) = ( y e. D |-> if ( y = K , .1. , .0. ) ) )
28	17, 18, 24, 26, 27	offval2 6914	. 2 |- ( ph -> ( ( D X. { X } ) oF ( .r ` R ) ( y e. D |-> if ( y = K , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> ( X ( .r ` R ) if ( y = K , .1. , .0. ) ) ) )
29		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( .1. = if ( y = K , .1. , .0. ) -> ( X ( .r ` R ) .1. ) = ( X ( .r ` R ) if ( y = K , .1. , .0. ) ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( .1. = if ( y = K , .1. , .0. ) -> ( ( X ( .r ` R ) .1. ) = if ( y = K , X , .0. ) <-> ( X ( .r ` R ) if ( y = K , .1. , .0. ) ) = if ( y = K , X , .0. ) ) )
31		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( .0. = if ( y = K , .1. , .0. ) -> ( X ( .r ` R ) .0. ) = ( X ( .r ` R ) if ( y = K , .1. , .0. ) ) )
32	31	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( .0. = if ( y = K , .1. , .0. ) -> ( ( X ( .r ` R ) .0. ) = if ( y = K , X , .0. ) <-> ( X ( .r ` R ) if ( y = K , .1. , .0. ) ) = if ( y = K , X , .0. ) ) )
33	3, 5, 9	ringridm 18572	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X ( .r ` R ) .1. ) = X )
34	11, 7, 33	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( .r ` R ) .1. ) = X )
35		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( y = K -> if ( y = K , X , .0. ) = X )
36	35	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( y = K -> X = if ( y = K , X , .0. ) )
37	34, 36	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = K ) -> ( X ( .r ` R ) .1. ) = if ( y = K , X , .0. ) )
38	3, 5, 8	ringrz 18588	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
39	11, 7, 38	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
40		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. y = K -> if ( y = K , X , .0. ) = .0. )
41	40	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( -. y = K -> .0. = if ( y = K , X , .0. ) )
42	39, 41	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. y = K ) -> ( X ( .r ` R ) .0. ) = if ( y = K , X , .0. ) )
43	30, 32, 37, 42	ifbothda 4123	. . 3 |- ( ph -> ( X ( .r ` R ) if ( y = K , .1. , .0. ) ) = if ( y = K , X , .0. ) )
44	43	mpteq2dv 4745	. 2 |- ( ph -> ( y e. D |-> ( X ( .r ` R ) if ( y = K , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = K , X , .0. ) ) )
45	14, 28, 44	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( X .x. ( y e. D |-> if ( y = K , .1. , .0. ) ) ) = ( y e. D |-> if ( y = K , X , .0. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-psr 19356  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  mplascl  19496  mplmon2cl  19500  mplmon2mul  19501  mplcoe4  19503  coe1tm  19643