Theorem mrccl 16271

Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	|- F = (mrCls ` C )

Assertion

Ref	Expression
mrccl	|- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ U C_ X ) -> ( F ` U ) e. C )

Proof of Theorem mrccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcfval.f	. . . 4 |- F = (mrCls ` C )
2	1	mrcf 16269	. . 3 |- ( C e. (Moore ` X ) -> F : ~P X --> C )
3	2	adantr 481	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ U C_ X ) -> F : ~P X --> C )
4		mre1cl 16254	. . . 4 |- ( C e. (Moore ` X ) -> X e. C )
5		elpw2g 4827	. . . 4 |- ( X e. C -> ( U e. ~P X <-> U C_ X ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( U e. ~P X <-> U C_ X ) )
7	6	biimpar 502	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ U C_ X ) -> U e. ~P X )
8	3, 7	ffvelrnd 6360	1 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ U C_ X ) -> ( F ` U ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   -->wf 5884   ` cfv 5888  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-mre 16246  df-mrc 16247

This theorem is referenced by:  mrcsncl  16272  mrcidb  16275  mrcidm  16279  submrc  16288  isacs2  16314  mrelatlub  17186  mreclatBAD  17187  gsumwspan  17383  cycsubg2cl  17632  symggen  17890  odf1o1  17987  cntzspan  18247  gsumzsplit  18327  gsumzoppg  18344  gsumpt  18361  dmdprdd  18398  dprdfeq0  18421  dprdspan  18426  dprdres  18427  dprdz  18429  subgdmdprd  18433  subgdprd  18434  dprd2dlem1  18440  dprd2da  18441  dmdprdsplit2lem  18444  mrccss  20038  ismrcd2  37262  proot1mul  37777