Theorem dprdspan 18426

Description: The direct product is the span of the union of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdspan.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
dprdspan	|- ( G dom DProd S -> ( G DProd S ) = ( K ` U. ran S ) )

Proof of Theorem dprdspan

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( G dom DProd S -> G dom DProd S )
2		eqidd 2623	. . 3 |- ( G dom DProd S -> dom S = dom S )
3		dprdgrp 18404	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
5	4	subgacs 17629	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
6		acsmre 16313	. . . . 5 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
7	3, 5, 6	3syl 18	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
8		dprdf 18405	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> S : dom S --> (SubGrp ` G ) )
9		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( S : dom S --> (SubGrp ` G ) -> S Fn dom S )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( G dom DProd S -> S Fn dom S )
11		fniunfv 6505	. . . . . . 7 |- ( S Fn dom S -> U_ k e. dom S ( S ` k ) = U. ran S )
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( G dom DProd S -> U_ k e. dom S ( S ` k ) = U. ran S )
13		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> G dom DProd S )
14		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> dom S = dom S )
15		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> k e. dom S )
16	13, 14, 15	dprdub 18424	. . . . . . . 8 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> ( S ` k ) C_ ( G DProd S ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( G dom DProd S -> A. k e. dom S ( S ` k ) C_ ( G DProd S ) )
18		iunss 4561	. . . . . . 7 |- ( U_ k e. dom S ( S ` k ) C_ ( G DProd S ) <-> A. k e. dom S ( S ` k ) C_ ( G DProd S ) )
19	17, 18	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( G dom DProd S -> U_ k e. dom S ( S ` k ) C_ ( G DProd S ) )
20	12, 19	eqsstr3d 3640	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> U. ran S C_ ( G DProd S ) )
21	4	dprdssv 18415	. . . . 5 |- ( G DProd S ) C_ ( Base ` G )
22	20, 21	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> U. ran S C_ ( Base ` G ) )
23		dprdspan.k	. . . . 5 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
24	23	mrccl 16271	. . . 4 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ran S C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` U. ran S ) e. (SubGrp ` G ) )
25	7, 22, 24	syl2anc 693	. . 3 |- ( G dom DProd S -> ( K ` U. ran S ) e. (SubGrp ` G ) )
26		eqimss 3657	. . . . . . 7 |- ( U_ k e. dom S ( S ` k ) = U. ran S -> U_ k e. dom S ( S ` k ) C_ U. ran S )
27	12, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( G dom DProd S -> U_ k e. dom S ( S ` k ) C_ U. ran S )
28		iunss 4561	. . . . . 6 |- ( U_ k e. dom S ( S ` k ) C_ U. ran S <-> A. k e. dom S ( S ` k ) C_ U. ran S )
29	27, 28	sylib 208	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> A. k e. dom S ( S ` k ) C_ U. ran S )
30	29	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> ( S ` k ) C_ U. ran S )
31	7, 23, 22	mrcssidd 16285	. . . . 5 |- ( G dom DProd S -> U. ran S C_ ( K ` U. ran S ) )
32	31	adantr 481	. . . 4 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> U. ran S C_ ( K ` U. ran S ) )
33	30, 32	sstrd 3613	. . 3 |- ( ( G dom DProd S /\ k e. dom S ) -> ( S ` k ) C_ ( K ` U. ran S ) )
34	1, 2, 25, 33	dprdlub 18425	. 2 |- ( G dom DProd S -> ( G DProd S ) C_ ( K ` U. ran S ) )
35		dprdsubg 18423	. . 3 |- ( G dom DProd S -> ( G DProd S ) e. (SubGrp ` G ) )
36	23	mrcsscl 16280	. . 3 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ U. ran S C_ ( G DProd S ) /\ ( G DProd S ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( K ` U. ran S ) C_ ( G DProd S ) )
37	7, 20, 35, 36	syl3anc 1326	. 2 |- ( G dom DProd S -> ( K ` U. ran S ) C_ ( G DProd S ) )
38	34, 37	eqssd 3620	1 |- ( G dom DProd S -> ( G DProd S ) = ( K ` U. ran S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-cmn 18195  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dprdres  18427  dprdf1o  18431  subgdprd  18434  dprdsn  18435  dprd2dlem1  18440  dprd2da  18441  dprd2db  18442  dmdprdsplit2lem  18444