Theorem symggen 17890

Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgtrf.t	|- T = ran (pmTrsp ` D )
symgtrf.g	|- G = ( SymGrp ` D )
symgtrf.b	|- B = ( Base ` G )
symggen.k	|- K = (mrCls ` (SubMnd ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
symggen	|- ( D e. V -> ( K ` T ) = { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } )

Distinct variable groups:   x, B   x, T   x, K   x, D   x, G   x, V

Proof of Theorem symggen

Dummy variables u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . . 4 |- ( D e. V -> D e. _V )
2		symgtrf.g	. . . . . . 7 |- G = ( SymGrp ` D )
3	2	symggrp 17820	. . . . . 6 |- ( D e. _V -> G e. Grp )
4		grpmnd 17429	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( D e. _V -> G e. Mnd )
6		symgtrf.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
7	6	submacs 17365	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> (SubMnd ` G ) e. (ACS ` B ) )
8		acsmre 16313	. . . . 5 |- ( (SubMnd ` G ) e. (ACS ` B ) -> (SubMnd ` G ) e. (Moore ` B ) )
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 |- ( D e. _V -> (SubMnd ` G ) e. (Moore ` B ) )
10	1, 9	syl 17	. . 3 |- ( D e. V -> (SubMnd ` G ) e. (Moore ` B ) )
11		symgtrf.t	. . . . . 6 |- T = ran (pmTrsp ` D )
12	11, 2, 6	symgtrf 17889	. . . . 5 |- T C_ B
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( D e. V -> T C_ B )
14		2onn 7720	. . . . . 6 |- 2o e. om
15		nnfi 8153	. . . . . 6 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2o e. Fin
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (pmTrsp ` D ) = (pmTrsp ` D )
18	17, 11	pmtrfb 17885	. . . . . . . 8 |- ( x e. T <-> ( D e. _V /\ x : D -1-1-onto-> D /\ dom ( x \ _I ) ~~ 2o ) )
19	18	simp3bi 1078	. . . . . . 7 |- ( x e. T -> dom ( x \ _I ) ~~ 2o )
20		enfi 8176	. . . . . . 7 |- ( dom ( x \ _I ) ~~ 2o -> ( dom ( x \ _I ) e. Fin <-> 2o e. Fin ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. T -> ( dom ( x \ _I ) e. Fin <-> 2o e. Fin ) )
22	21	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ x e. T ) -> ( dom ( x \ _I ) e. Fin <-> 2o e. Fin ) )
23	16, 22	mpbiri 248	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ x e. T ) -> dom ( x \ _I ) e. Fin )
24	13, 23	ssrabdv 3681	. . 3 |- ( D e. V -> T C_ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } )
25	2, 6	symgfisg 17888	. . . 4 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. (SubGrp ` G ) )
26		subgsubm 17616	. . . 4 |- ( { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. (SubGrp ` G ) -> { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. (SubMnd ` G ) )
27	25, 26	syl 17	. . 3 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. (SubMnd ` G ) )
28		symggen.k	. . . 4 |- K = (mrCls ` (SubMnd ` G ) )
29	28	mrcsscl 16280	. . 3 |- ( ( (SubMnd ` G ) e. (Moore ` B ) /\ T C_ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } /\ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } e. (SubMnd ` G ) ) -> ( K ` T ) C_ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } )
30	10, 24, 27, 29	syl3anc 1326	. 2 |- ( D e. V -> ( K ` T ) C_ { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } )
31		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( dom ( x \ _I ) e. Fin -> x e. _V )
33		finnum 8774	. . . . . 6 |- ( dom ( x \ _I ) e. Fin -> dom ( x \ _I ) e. dom card )
34		domfi 8181	. . . . . . . 8 |- ( ( dom ( x \ _I ) e. Fin /\ dom ( y \ _I ) ~<_ dom ( x \ _I ) ) -> dom ( y \ _I ) e. Fin )
35	2, 6	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B -> y : D -1-1-onto-> D )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> y : D -1-1-onto-> D )
37		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y : D -1-1-onto-> D -> y Fn D )
38		fnnfpeq0 6444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y Fn D -> ( dom ( y \ _I ) = (/) <-> y = ( _I |` D ) ) )
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( dom ( y \ _I ) = (/) <-> y = ( _I |` D ) ) )
40	2, 6	elbasfv 15920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. B -> D e. _V )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> D e. _V )
42	2	symgid 17821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. _V -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
44	41, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> (SubMnd ` G ) e. (Moore ` B ) )
45	28	mrccl 16271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( (SubMnd ` G ) e. (Moore ` B ) /\ T C_ B ) -> ( K ` T ) e. (SubMnd ` G ) )
46	44, 12, 45	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( K ` T ) e. (SubMnd ` G ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
48	47	subm0cl 17352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ` T ) e. (SubMnd ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( K ` T ) )
49	46, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( 0g ` G ) e. ( K ` T ) )
50	43, 49	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( _I |` D ) e. ( K ` T ) )
51		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _I |` D ) e. ( K ` T ) -> ( y = ( _I |` D ) -> y e. ( K ` T ) ) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( y = ( _I |` D ) -> y e. ( K ` T ) ) )
53	39, 52	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> ( dom ( y \ _I ) = (/) -> y e. ( K ` T ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( dom ( y \ _I ) = (/) -> y e. ( K ` T ) ) )
55		n0 3931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom ( y \ _I ) =/= (/) <-> E. u u e. dom ( y \ _I ) )
56	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> D e. _V )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> u e. dom ( y \ _I ) )
58		f1omvdmvd 17863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y : D -1-1-onto-> D /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) e. ( dom ( y \ _I ) \ { u } ) )
59	36, 58	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) e. ( dom ( y \ _I ) \ { u } ) )
60	59	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) e. dom ( y \ _I ) )
61		prssi 4353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( u e. dom ( y \ _I ) /\ ( y ` u ) e. dom ( y \ _I ) ) -> { u , ( y ` u ) } C_ dom ( y \ _I ) )
62	57, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> { u , ( y ` u ) } C_ dom ( y \ _I ) )
63		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y \ _I ) C_ y
64		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y \ _I ) C_ y -> dom ( y \ _I ) C_ dom y )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- dom ( y \ _I ) C_ dom y
66		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y : D -1-1-onto-> D -> dom y = D )
67	36, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> dom y = D )
68	65, 67	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> dom ( y \ _I ) C_ D )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ D )
70	62, 69	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> { u , ( y ` u ) } C_ D )
71	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> y : D -1-1-onto-> D )
72	71, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> y Fn D )
73	68	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> u e. D )
74		fnelnfp 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y Fn D /\ u e. D ) -> ( u e. dom ( y \ _I ) <-> ( y ` u ) =/= u ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( u e. dom ( y \ _I ) <-> ( y ` u ) =/= u ) )
76	57, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) =/= u )
77	76	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> u =/= ( y ` u ) )
78		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- u e. _V
79		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y ` u ) e. _V
80		pr2nelem 8827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( u e. _V /\ ( y ` u ) e. _V /\ u =/= ( y ` u ) ) -> { u , ( y ` u ) } ~~ 2o )
81	78, 79, 80	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u =/= ( y ` u ) -> { u , ( y ` u ) } ~~ 2o )
82	77, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> { u , ( y ` u ) } ~~ 2o )
83	17, 11	pmtrrn 17877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( D e. _V /\ { u , ( y ` u ) } C_ D /\ { u , ( y ` u ) } ~~ 2o ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. T )
84	56, 70, 82, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. T )
85	12, 84	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. B )
86		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> y e. B )
87		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
88	2, 6, 87	symgov 17810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) )
89	85, 86, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) )
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) )
91	41, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> G e. Grp )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> G e. Grp )
93	6, 87	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. Grp /\ ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B )
94	92, 85, 86, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B )
95	89, 94	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) e. B )
96	2, 6, 87	symgov 17810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. B /\ ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) e. B ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) )
97	85, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) )
98		coass 5654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) o. y ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) )
99	17, 11	pmtrfinv 17881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. T -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) = ( _I |` D ) )
100	84, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) = ( _I |` D ) )
101	100	coeq1d 5283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) o. y ) = ( ( _I |` D ) o. y ) )
102		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y : D -1-1-onto-> D -> y : D --> D )
103		fcoi2 6079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y : D --> D -> ( ( _I |` D ) o. y ) = y )
104	71, 102, 103	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( _I |` D ) o. y ) = y )
105	101, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ) o. y ) = y )
106	98, 105	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ) = y )
107	90, 97, 106	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) = y )
108	107	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) = y )
109	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( K ` T ) e. (SubMnd ` G ) )
110	28	mrcssid 16277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (SubMnd ` G ) e. (Moore ` B ) /\ T C_ B ) -> T C_ ( K ` T ) )
111	44, 12, 110	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) -> T C_ ( K ` T ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> T C_ ( K ` T ) )
113	112, 84	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. ( K ` T ) )
114	113	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. ( K ` T ) )
115	89	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) = ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) )
116	115	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) = dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) )
117		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( y \ _I ) e. Fin )
118		mvdco 17865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) C_ ( dom ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) u. dom ( y \ _I ) )
119	17	pmtrmvd 17876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( D e. _V /\ { u , ( y ` u ) } C_ D /\ { u , ( y ` u ) } ~~ 2o ) -> dom ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) = { u , ( y ` u ) } )
120	56, 70, 82, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) = { u , ( y ` u ) } )
121	120, 62	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) C_ dom ( y \ _I ) )
122		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- dom ( y \ _I ) C_ dom ( y \ _I )
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ dom ( y \ _I ) )
124	121, 123	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( dom ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) \ _I ) u. dom ( y \ _I ) ) C_ dom ( y \ _I ) )
125	118, 124	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) C_ dom ( y \ _I ) )
126		fvco2 6273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y Fn D /\ u e. D ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ` ( y ` u ) ) )
127	72, 73, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ` ( y ` u ) ) )
128		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- { u , ( y ` u ) } = { ( y ` u ) , u }
129	128	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) = ( (pmTrsp ` D ) ` { ( y ` u ) , u } )
130	129	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ` ( y ` u ) ) = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { ( y ` u ) , u } ) ` ( y ` u ) )
131	69, 60	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( y ` u ) e. D )
132	17	pmtrprfv 17873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( D e. _V /\ ( ( y ` u ) e. D /\ u e. D /\ ( y ` u ) =/= u ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { ( y ` u ) , u } ) ` ( y ` u ) ) = u )
133	56, 131, 73, 76, 132	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { ( y ` u ) , u } ) ` ( y ` u ) ) = u )
134	130, 133	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ` ( y ` u ) ) = u )
135	127, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = u )
136	2, 6	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) e. B -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) : D -1-1-onto-> D )
137		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) : D -1-1-onto-> D -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) Fn D )
138	95, 136, 137	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) Fn D )
139		fnelnfp 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) Fn D /\ u e. D ) -> ( u e. dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) <-> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) =/= u ) )
140	139	necon2bbid 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) Fn D /\ u e. D ) -> ( ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = u <-> -. u e. dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ) )
141	138, 73, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) ` u ) = u <-> -. u e. dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ) )
142	135, 141	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> -. u e. dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) )
143	125, 57, 142	ssnelpssd 3719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) C. dom ( y \ _I ) )
144		php3 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) C. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) )
145	117, 143, 144	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) o. y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) )
146	116, 145	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) )
147	146	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) )
148	94	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B )
149		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. _V
150		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( z \ _I ) = ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) )
151	150	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> dom ( z \ _I ) = dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) )
152	151	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) <-> dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) ) )
153		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( z e. B <-> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B ) )
154		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( z e. ( K ` T ) <-> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) )
155	153, 154	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) <-> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) )
156	152, 155	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) -> ( ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) <-> ( dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) ) )
157	149, 156	spcv 3299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) -> ( dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) )
158	157	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( dom ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. B -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) ) )
159	147, 148, 158	mp2d 49	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) )
160	87	submcl 17353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K ` T ) e. (SubMnd ` G ) /\ ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) e. ( K ` T ) /\ ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) e. ( K ` T ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) e. ( K ` T ) )
161	109, 114, 159, 160	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) ( ( (pmTrsp ` D ) ` { u , ( y ` u ) } ) ( +g ` G ) y ) ) e. ( K ` T ) )
162	108, 161	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) /\ u e. dom ( y \ _I ) ) -> y e. ( K ` T ) )
163	162	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( u e. dom ( y \ _I ) -> y e. ( K ` T ) ) )
164	163	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( E. u u e. dom ( y \ _I ) -> y e. ( K ` T ) ) )
165	55, 164	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( dom ( y \ _I ) =/= (/) -> y e. ( K ` T ) ) )
166	54, 165	pm2.61dne 2880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( dom ( y \ _I ) e. Fin /\ y e. B ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> y e. ( K ` T ) )
167	166	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( y \ _I ) e. Fin -> ( y e. B -> ( A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) -> y e. ( K ` T ) ) ) )
168	167	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( dom ( y \ _I ) e. Fin -> ( A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) -> ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) ) )
169	34, 168	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( dom ( x \ _I ) e. Fin /\ dom ( y \ _I ) ~<_ dom ( x \ _I ) ) -> ( A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) -> ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) ) )
170	169	3impia 1261	. . . . . 6 |- ( ( dom ( x \ _I ) e. Fin /\ dom ( y \ _I ) ~<_ dom ( x \ _I ) /\ A. z ( dom ( z \ _I ) ~< dom ( y \ _I ) -> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) ) -> ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) )
171		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) )
172		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y e. ( K ` T ) <-> z e. ( K ` T ) ) )
173	171, 172	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) <-> ( z e. B -> z e. ( K ` T ) ) ) )
174		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y e. B <-> x e. B ) )
175		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y e. ( K ` T ) <-> x e. ( K ` T ) ) )
176	174, 175	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( y e. B -> y e. ( K ` T ) ) <-> ( x e. B -> x e. ( K ` T ) ) ) )
177		difeq1 3721	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y \ _I ) = ( z \ _I ) )
178	177	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( y = z -> dom ( y \ _I ) = dom ( z \ _I ) )
179		difeq1 3721	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y \ _I ) = ( x \ _I ) )
180	179	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( y = x -> dom ( y \ _I ) = dom ( x \ _I ) )
181	32, 33, 170, 173, 176, 178, 180	indcardi 8864	. . . . 5 |- ( dom ( x \ _I ) e. Fin -> ( x e. B -> x e. ( K ` T ) ) )
182	181	impcom 446	. . . 4 |- ( ( x e. B /\ dom ( x \ _I ) e. Fin ) -> x e. ( K ` T ) )
183	182	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( D e. V /\ x e. B /\ dom ( x \ _I ) e. Fin ) -> x e. ( K ` T ) )
184	183	rabssdv 3682	. 2 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } C_ ( K ` T ) )
185	30, 184	eqssd 3620	1 |- ( D e. V -> ( K ` T ) = { x e. B | dom ( x \ _I ) e. Fin } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   2oc2o 7554   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-symg 17798  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  symggen2  17891  psgneldm2  17924