Theorem mulgnnsubcl 17553

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subsemigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnnsubcl.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnnsubcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnnsubcl.g	|- ( ph -> G e. V )
mulgnnsubcl.s	|- ( ph -> S C_ B )
mulgnnsubcl.c	|- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
mulgnnsubcl	|- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Distinct variable groups:   x, y, .+   x, B, y   x, G, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y   x, .x.   x, X, y

Allowed substitution hints:   .x. ( y)   V( x, y)

Proof of Theorem mulgnnsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> N e. NN )
2		mulgnnsubcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ B )
3	2	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> S C_ B )
4		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> X e. S )
5	3, 4	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> X e. B )
6		mulgnnsubcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
7		mulgnnsubcl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
8		mulgnnsubcl.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
9		eqid 2622	. . . 4 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
10	6, 7, 8, 9	mulgnn 17547	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
11	1, 5, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) )
12		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
13	1, 12	syl6eleq 2711	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
14		elfznn 12370	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
15		fvconst2g 6467	. . . . 5 |- ( ( X e. S /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
16	4, 14, 15	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) = X )
17		simpl3 1066	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> X e. S )
18	16, 17	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` x ) e. S )
19		mulgnnsubcl.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x .+ y ) e. S )
20	19	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
21	20	3ad2antl1 1223	. . 3 |- ( ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
22	13, 18, 21	seqcl 12821	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` N ) e. S )
23	11, 22	eqeltrd 2701	1 |- ( ( ph /\ N e. NN /\ X e. S ) -> ( N .x. X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-mulg 17541

This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  17554  mulgsubcl  17555  mulgnncl  17556  mulgnnclOLD  17557  xrsmulgzz  29678