Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0o1gt2ALTV Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nn0o1gt2ALTV 41605
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2ALTV |- ( ( N e. NN0 /\ N e. Odd ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV
StepHypRef Expression
1 elnn0 11294 . . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2 elnn1uz2 11765 . . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
3 orc 400 . . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
43a1d 25 . . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
5 2z 11409 . . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
65eluz1i 11695 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
7 2re 11090 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
9 zre 11381 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
108, 9leloed 10180 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( 2 <_ N <-> ( 2 < N \/ 2 = N ) ) )
11 olc 399 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 < N -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
1211a1d 25 . . . . . . . . . 10 |- ( 2 < N -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
13 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 2 -> ( N e. Odd <-> 2 e. Odd ) )
1413eqcoms 2630 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = N -> ( N e. Odd <-> 2 e. Odd ) )
15 2noddALTV 41604 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e/ Odd
16 df-nel 2898 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e/ Odd <-> -. 2 e. Odd )
17 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 2 e. Odd -> ( 2 e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
1816, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e/ Odd -> ( 2 e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
2014, 19syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 |- ( 2 = N -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
2112, 20jaoi 394 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 < N \/ 2 = N ) -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
2210, 21syl6bi 243 . . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 2 <_ N -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) ) )
2322imp 445 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 <_ N ) -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
246, 23sylbi 207 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
254, 24jaoi 394 . . . . 5 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
262, 25sylbi 207 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
27 eleq1 2689 . . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N e. Odd <-> 0 e. Odd ) )
28 0noddALTV 41600 . . . . . 6 |- 0 e/ Odd
29 df-nel 2898 . . . . . . 7 |- ( 0 e/ Odd <-> -. 0 e. Odd )
30 pm2.21 120 . . . . . . 7 |- ( -. 0 e. Odd -> ( 0 e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
3129, 30sylbi 207 . . . . . 6 |- ( 0 e/ Odd -> ( 0 e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
3228, 31ax-mp 5 . . . . 5 |- ( 0 e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
3327, 32syl6bi 243 . . . 4 |- ( N = 0 -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
3426, 33jaoi 394 . . 3 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
351, 34sylbi 207 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. Odd -> ( N = 1 \/ 2 < N ) ) )
3635imp 445 1 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. Odd ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   Odd codd 41538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-even 41539  df-odd 41540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator