Theorem 2z 11409

Description: 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2z	|- 2 e. ZZ

Proof of Theorem 2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. 2 |- 2 e. NN
2	1	nnzi 11401	1 |- 2 e. ZZ

Syntax hints:   e. wcel 1990   2c2 11070   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-z 11378

This theorem is referenced by:  nn0lt2  11440  nn0le2is012  11441  zadd2cl  11490  uzuzle23  11729  2eluzge1  11734  eluz2b1  11759  nn01to3  11781  nn0ge2m1nnALT  11782  ige2m1fz  12430  fz0to3un2pr  12441  fz0to4untppr  12442  fzctr  12451  fzo0to2pr  12553  fzo0to42pr  12555  2tnp1ge0ge0  12630  flhalf  12631  m1modge3gt1  12717  2txmodxeq0  12730  f13idfv  12800  sq1  12958  expnass  12970  sqrecd  13012  sqoddm1div8  13028  bcn2m1  13111  bcn2p1  13112  4bc2eq6  13116  hashtpg  13267  ccat2s1p2  13406  swrdtrcfv0  13442  swrdtrcfvl  13450  eqwrds3  13704  iseraltlem2  14413  iseraltlem3  14414  climcndslem1  14581  climcnds  14583  bpolydiflem  14785  efgt0  14833  tanval3  14864  cos01bnd  14916  cos01gt0  14921  odd2np1  15065  even2n  15066  oddm1even  15067  oddp1even  15068  oexpneg  15069  mod2eq1n2dvds  15071  2tp1odd  15076  2teven  15079  evend2  15081  oddp1d2  15082  ltoddhalfle  15085  opoe  15087  omoe  15088  opeo  15089  omeo  15090  m1expo  15092  m1exp1  15093  nn0o  15099  z0even  15103  n2dvds1  15104  z2even  15106  n2dvds3  15107  z4even  15108  4dvdseven  15109  sumeven  15110  flodddiv4  15137  bits0e  15151  bits0o  15152  bitsp1e  15154  bitsp1o  15155  bitsfzo  15157  bitsmod  15158  bitscmp  15160  bitsinv1lem  15163  bitsinv1  15164  6gcd4e2  15255  3lcm2e6woprm  15328  lcmf2a3a4e12  15360  isprm3  15396  dvdsnprmd  15403  2prm  15405  3prm  15406  oddprmge3  15412  isprm7  15420  divgcdodd  15422  oddprm  15515  pythagtriplem4  15524  pythagtriplem11  15530  pythagtriplem13  15532  iserodd  15540  prmgaplem3  15757  prmgaplem7  15761  dec2dvds  15767  prmlem0  15812  4001lem1  15848  psgnunilem4  17917  efgredleme  18156  lt6abl  18296  zringndrg  19838  znidomb  19910  chfacfscmulfsupp  20664  chfacfpmmulfsupp  20668  minveclem2  23197  minveclem3  23200  pjthlem1  23208  dyaddisjlem  23363  mbfi1fseqlem5  23486  iblcnlem1  23554  dvrecg  23736  dvexp3  23741  aaliou3lem6  24103  tanregt0  24285  efif1olem4  24291  tanarg  24365  cubic2  24575  asinlem3  24598  atantayl2  24665  cxp2limlem  24702  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  basellem2  24808  basellem3  24809  basellem4  24810  basellem5  24811  basellem8  24814  basellem9  24815  ppisval  24830  ppiprm  24877  ppinprm  24878  chtprm  24879  chtnprm  24880  chtdif  24884  ppidif  24889  ppi1  24890  cht1  24891  cht3  24899  ppieq0  24902  ppiublem1  24927  ppiublem2  24928  chpeq0  24933  chtub  24937  chpval2  24943  chpub  24945  mersenne  24952  perfect1  24953  perfectlem1  24954  perfectlem2  24955  bposlem1  25009  bposlem2  25010  bposlem3  25011  bposlem5  25013  bposlem6  25014  lgslem1  25022  lgsdir2lem2  25051  lgsdir2lem3  25052  lgsdir2  25055  lgsqr  25076  gausslemma2dlem0i  25089  gausslemma2dlem1a  25090  gausslemma2dlem5a  25095  gausslemma2dlem5  25096  gausslemma2dlem6  25097  gausslemma2dlem7  25098  gausslemma2d  25099  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem2  25101  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  lgsquad2lem1  25109  lgsquad2lem2  25110  lgsquad2  25111  lgsquad3  25112  m1lgs  25113  2lgslem1a1  25114  2lgslem1a2  25115  2lgslem1b  25117  2lgslem2  25120  2lgslem3b1  25126  2lgslem3c1  25127  2lgs2  25130  2lgs  25132  2lgsoddprmlem2  25134  2lgsoddprmlem3  25139  2lgsoddprm  25141  2sqblem  25156  chebbnd1lem1  25158  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  dchrisum0lem1a  25175  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0flblem2  25198  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  dchrisum0lem3  25208  mulog2sumlem2  25224  pntlemd  25283  pntlema  25285  pntlemb  25286  pntlemh  25288  pntlemr  25291  pntlemf  25294  pntlemo  25296  istrkg2ld  25359  istrkg3ld  25360  axlowdimlem3  25824  axlowdimlem6  25827  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  axlowdim  25841  usgrexmpldifpr  26150  usgrexmplef  26151  cusgrsizeindb1  26346  pthdlem1  26662  clwlkclwwlklem2a1  26893  clwlkclwwlklem2fv1  26896  clwlkclwwlklem2fv2  26897  clwlkclwwlklem2a4  26898  clwlkclwwlklem2a  26899  clwwisshclwwslem  26927  eupth2lem3lem3  27090  eupth2lemb  27097  konigsberglem5  27118  numclwwlk2lem1  27235  numclwlk2lem2f  27236  frgrreggt1  27251  ex-fl  27304  ex-mod  27306  ex-hash  27310  ex-dvds  27313  ex-ind-dvds  27318  minvecolem3  27732  pjhthlem1  28250  znsqcld  29512  2sqmod  29648  archirngz  29743  archiabllem2c  29749  lmat22det  29888  dya2ub  30332  dya2icoseg  30339  oddpwdc  30416  eulerpartlemd  30428  eulerpartlemt  30433  ballotlem2  30550  signslema  30639  prodfzo03  30681  hgt750leme  30736  tgoldbachgtde  30738  nn0prpwlem  32317  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem8  32510  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  acongrep  37547  acongeq  37550  jm2.18  37555  jm2.22  37562  jm2.23  37563  jm2.20nn  37564  jm2.26a  37567  jm2.26  37569  jm2.15nn0  37570  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574  rmydioph  37581  jm3.1lem1  37584  jm3.1lem3  37586  expdiophlem1  37588  expdiophlem2  37589  hashnzfz2  38520  sumnnodd  39862  coskpi2  40077  cosknegpi  40080  dvdivbd  40138  stoweidlem26  40243  wallispilem4  40285  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  wallispi2  40290  stirlinglem1  40291  stirlinglem3  40293  stirlinglem7  40297  stirlinglem8  40298  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  stirlinglem15  40305  dirkertrigeqlem1  40315  dirkercncflem2  40321  fourierdlem54  40377  fourierdlem56  40379  fourierdlem57  40380  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  fourierswlem  40447  fouriersw  40448  smfmullem4  41001  pfxtrcfv0  41402  pfxtrcfvl  41405  fmtnorec1  41449  goldbachthlem2  41458  odz2prm2pw  41475  fmtnoprmfac1  41477  fmtnoprmfac2lem1  41478  fmtnoprmfac2  41479  fmtno4prmfac  41484  31prm  41512  sfprmdvdsmersenne  41520  lighneallem1  41522  lighneallem4a  41525  lighneallem4b  41526  lighneallem4  41527  proththdlem  41530  proththd  41531  3exp4mod41  41533  41prothprmlem2  41535  m1expevenALTV  41560  dfeven2  41562  oexpnegALTV  41588  oexpnegnz  41589  2evenALTV  41603  2noddALTV  41604  nn0o1gt2ALTV  41605  nnpw2evenALTV  41611  perfectALTVlem1  41630  perfectALTVlem2  41631  sbgoldbalt  41669  mogoldbb  41673  nnsum4primesodd  41684  nnsum4primesoddALTV  41685  wtgoldbnnsum4prm  41690  bgoldbnnsum3prm  41692  2even  41933  zlmodzxzequa  42285  zlmodzxznm  42286  zlmodzxzequap  42288  zlmodzxzldeplem1  42289  zlmodzxzldeplem3  42291  zlmodzxzldep  42293  ldepsnlinclem1  42294  ldepsnlinc  42297  pw2m1lepw2m1  42310  fldivexpfllog2  42359  nnlog2ge0lt1  42360  logbpw2m1  42361  fllog2  42362  blennnelnn  42370  blenpw2  42372  nnpw2blenfzo  42375  blennnt2  42383  nnolog2flm1  42384  dig2nn0ld  42398  dig2nn1st  42399  0dig2pr01  42404  0dig2nn0o  42407