Theorem nn0sumltlt 42128

Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumltlt	|- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < c -> b < c ) )

Proof of Theorem nn0sumltlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 11301	. . 3 |- ( a e. NN0 -> a e. RR )
2		nn0re 11301	. . 3 |- ( b e. NN0 -> b e. RR )
3		nn0re 11301	. . 3 |- ( c e. NN0 -> c e. RR )
4		ltaddsub2 10503	. . 3 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ c e. RR ) -> ( ( a + b ) < c <-> b < ( c - a ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1368	. 2 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < c <-> b < ( c - a ) ) )
6		nn0ge0 11318	. . . . 5 |- ( a e. NN0 -> 0 <_ a )
7	6	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> 0 <_ a )
8	1, 3	anim12ci 591	. . . . . 6 |- ( ( a e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( c e. RR /\ a e. RR ) )
9	8	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( c e. RR /\ a e. RR ) )
10		subge02 10544	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR /\ a e. RR ) -> ( 0 <_ a <-> ( c - a ) <_ c ) )
11	10	bicomd 213	. . . . 5 |- ( ( c e. RR /\ a e. RR ) -> ( ( c - a ) <_ c <-> 0 <_ a ) )
12	9, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( ( c - a ) <_ c <-> 0 <_ a ) )
13	7, 12	mpbird 247	. . 3 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( c - a ) <_ c )
14	2	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> b e. RR )
15		nn0resubcl 41317	. . . . . 6 |- ( ( c e. NN0 /\ a e. NN0 ) -> ( c - a ) e. RR )
16	15	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( a e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( c - a ) e. RR )
17	16	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( c - a ) e. RR )
18	3	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> c e. RR )
19		ltletr 10129	. . . 4 |- ( ( b e. RR /\ ( c - a ) e. RR /\ c e. RR ) -> ( ( b < ( c - a ) /\ ( c - a ) <_ c ) -> b < c ) )
20	14, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( ( b < ( c - a ) /\ ( c - a ) <_ c ) -> b < c ) )
21	13, 20	mpan2d 710	. 2 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( b < ( c - a ) -> b < c ) )
22	5, 21	sylbid 230	1 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < c -> b < c ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  42174