Theorem ply1mulgsumlem1 42174

Description: Lemma 1 for ply1mulgsum 42178. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	|- P = (Poly1 ` R )
ply1mulgsum.b	|- B = ( Base ` P )
ply1mulgsum.a	|- A = (coe1 ` K )
ply1mulgsum.c	|- C = (coe1 ` L )
ply1mulgsum.x	|- X = (var1 ` R )
ply1mulgsum.pm	|- .X. = ( .r ` P )
ply1mulgsum.sm	|- .x. = ( .s ` P )
ply1mulgsum.rm	|- .* = ( .r ` R )
ply1mulgsum.m	|- M = (mulGrp ` P )
ply1mulgsum.e	|- .^ = (.g ` M )

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsumlem1	|- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, n, s   B, n, s   C, n, s   n, K, s   n, L, s   R, n, s

Allowed substitution hints:   P( n, s)   .x. ( n, s)   .X. ( n, s)   .^ ( n, s)   .* ( n, s)   M( n, s)   X( n, s)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem1

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulgsum.a	. . . 4 |- A = (coe1 ` K )
2		ply1mulgsum.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
3		ply1mulgsum.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5	1, 2, 3, 4	coe1ae0 19586	. . 3 |- ( K e. B -> E. b e. NN0 A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
6	5	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. b e. NN0 A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
7		ply1mulgsum.c	. . . . 5 |- C = (coe1 ` L )
8	7, 2, 3, 4	coe1ae0 19586	. . . 4 |- ( L e. B -> E. a e. NN0 A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
9	8	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. a e. NN0 A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
10		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( a + b ) e. NN0 )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> ( a + b ) e. NN0 )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( a + b ) e. NN0 )
13		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( a + b ) -> ( s < n <-> ( a + b ) < n ) )
14	13	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( a + b ) -> ( ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) <-> ( ( a + b ) < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
15	14	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( a + b ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) <-> A. n e. NN0 ( ( a + b ) < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ s = ( a + b ) ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) <-> A. n e. NN0 ( ( a + b ) < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
17		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. NN0 ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) <-> ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )
18		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( a e. NN0 -> a e. CC )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( b e. NN0 /\ a e. NN0 ) -> a e. CC )
20		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( b e. NN0 -> b e. CC )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( b e. NN0 /\ a e. NN0 ) -> b e. CC )
22	19, 21	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( b e. NN0 /\ a e. NN0 ) -> ( a + b ) = ( b + a ) )
23	22	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( b e. NN0 /\ a e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( a + b ) = ( b + a ) )
24	23	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( b e. NN0 /\ a e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < n <-> ( b + a ) < n ) )
25		nn0sumltlt 42128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( b e. NN0 /\ a e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( ( b + a ) < n -> a < n ) )
26	24, 25	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( b e. NN0 /\ a e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < n -> a < n ) )
27	26	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b e. NN0 /\ a e. NN0 ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a + b ) < n -> a < n ) ) )
28	27	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a + b ) < n -> a < n ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a + b ) < n -> a < n ) ) )
30	29	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < n -> a < n ) )
31	30	imim1d 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( a + b ) < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )
32	31	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < n -> ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )
33	32	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a + b ) < n ) -> ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
34		nn0sumltlt 42128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < n -> b < n ) )
35	34	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a + b ) < n -> b < n ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a + b ) < n -> b < n ) ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < n -> b < n ) )
38	37	imim1d 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( a + b ) < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )
39	38	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < n -> ( ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )
40	39	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a + b ) < n ) -> ( ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
41	33, 40	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a + b ) < n ) -> ( ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( C ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )
42	41	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a + b ) < n ) /\ ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( C ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
43	42	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a + b ) < n ) /\ ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
44	43	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a + b ) < n -> ( ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
45	44	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( a + b ) < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
46	45	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> ( A. n e. NN0 ( ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. n e. NN0 ( ( a + b ) < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
47	17, 46	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> ( ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. n e. NN0 ( ( a + b ) < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
48	47	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. n e. NN0 ( ( a + b ) < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )
49	12, 16, 48	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )
50	49	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
52	51	expd 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) ) )
53	52	com34 91	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. NN0 ) -> ( A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) ) )
54	53	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. NN0 /\ A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( b e. NN0 -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) ) )
55	54	com14 96	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( b e. NN0 -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( ( a e. NN0 /\ A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) ) )
56	55	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( ( a e. NN0 /\ A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
57	56	rexlimiva 3028	. . . . 5 |- ( E. b e. NN0 A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( ( a e. NN0 /\ A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
58	57	com13 88	. . . 4 |- ( ( a e. NN0 /\ A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( E. b e. NN0 A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
59	58	rexlimiva 3028	. . 3 |- ( E. a e. NN0 A. n e. NN0 ( a < n -> ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( E. b e. NN0 A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
60	9, 59	mpcom 38	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( E. b e. NN0 A. n e. NN0 ( b < n -> ( A ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
61	6, 60	mpd 15	1 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A ` n ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` n ) = ( 0g ` R ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   < clt 10074   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem2  42175