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Theorem nninfnub 33547
Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub |- ( ( A C_ NN /\ -. A e. Fin /\ B e. NN ) -> { x e. A | B < x } =/= (/) )
Distinct variable groups:   x, A   x, B
Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3929 . . . . . 6 |- ( { x e. A | B < x } = (/) <-> A. y -. y e. { x e. A | B < x } )
2 breq2 4657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( B < x <-> B < y ) )
32elrab 3363 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { x e. A | B < x } <-> ( y e. A /\ B < y ) )
43notbii 310 . . . . . . . . . 10 |- ( -. y e. { x e. A | B < x } <-> -. ( y e. A /\ B < y ) )
5 imnan 438 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A -> -. B < y ) <-> -. ( y e. A /\ B < y ) )
64, 5sylbb2 228 . . . . . . . . 9 |- ( -. y e. { x e. A | B < x } -> ( y e. A -> -. B < y ) )
76alimi 1739 . . . . . . . 8 |- ( A. y -. y e. { x e. A | B < x } -> A. y ( y e. A -> -. B < y ) )
8 df-ral 2917 . . . . . . . 8 |- ( A. y e. A -. B < y <-> A. y ( y e. A -> -. B < y ) )
97, 8sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( A. y -. y e. { x e. A | B < x } -> A. y e. A -. B < y )
10 ssel2 3598 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ NN /\ y e. A ) -> y e. NN )
1110nnred 11035 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ NN /\ y e. A ) -> y e. RR )
1211adantlr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
13 nnre 11027 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B e. RR )
1413ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) -> B e. RR )
15 lenlt 10116 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ B e. RR ) -> ( y <_ B <-> -. B < y ) )
1615biimprd 238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < y -> y <_ B ) )
1712, 14, 16syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) -> ( -. B < y -> y <_ B ) )
1817ralimdva 2962 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) -> ( A. y e. A -. B < y -> A. y e. A y <_ B ) )
19 fzfi 12771 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... B ) e. Fin
2010nnnn0d 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ NN /\ y e. A ) -> y e. NN0 )
2120adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) -> y e. NN0 )
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) /\ y <_ B ) -> y e. NN0 )
23 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. NN -> B e. NN0 )
2423ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) /\ y <_ B ) -> B e. NN0 )
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) /\ y <_ B ) -> y <_ B )
2622, 24, 253jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) /\ y <_ B ) -> ( y e. NN0 /\ B e. NN0 /\ y <_ B ) )
2726ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) -> ( y <_ B -> ( y e. NN0 /\ B e. NN0 /\ y <_ B ) ) )
28 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 0 ... B ) <-> ( y e. NN0 /\ B e. NN0 /\ y <_ B ) )
2927, 28syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ y e. A ) -> ( y <_ B -> y e. ( 0 ... B ) ) )
3029ralimdva 2962 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) -> ( A. y e. A y <_ B -> A. y e. A y e. ( 0 ... B ) ) )
3130imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ A. y e. A y <_ B ) -> A. y e. A y e. ( 0 ... B ) )
32 dfss3 3592 . . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ ( 0 ... B ) <-> A. y e. A y e. ( 0 ... B ) )
3331, 32sylibr 224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ A. y e. A y <_ B ) -> A C_ ( 0 ... B ) )
34 ssfi 8180 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 ... B ) e. Fin /\ A C_ ( 0 ... B ) ) -> A e. Fin )
3519, 33, 34sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ A. y e. A y <_ B ) -> A e. Fin )
3635ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) -> ( A. y e. A y <_ B -> A e. Fin ) )
3718, 36syld 47 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) -> ( A. y e. A -. B < y -> A e. Fin ) )
389, 37syl5 34 . . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) -> ( A. y -. y e. { x e. A | B < x } -> A e. Fin ) )
391, 38syl5bi 232 . . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) -> ( { x e. A | B < x } = (/) -> A e. Fin ) )
4039necon3bd 2808 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) -> ( -. A e. Fin -> { x e. A | B < x } =/= (/) ) )
4140imp 445 . . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ B e. NN ) /\ -. A e. Fin ) -> { x e. A | B < x } =/= (/) )
4241an32s 846 . 2 |- ( ( ( A C_ NN /\ -. A e. Fin ) /\ B e. NN ) -> { x e. A | B < x } =/= (/) )
43423impa 1259 1 |- ( ( A C_ NN /\ -. A e. Fin /\ B e. NN ) -> { x e. A | B < x } =/= (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ...cfz 12326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327
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