Theorem nnwos 11755

Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
nnwos	|- ( E. x e. NN ph -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem nnwos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfrab1 3122	. . 3 |- F/_ x { x e. NN | ph }
2		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ y { x e. NN | ph }
3	1, 2	nnwof 11754	. 2 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ { x e. NN | ph } =/= (/) ) -> E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y )
4		ssrab2 3687	. . . 4 |- { x e. NN | ph } C_ NN
5	4	biantrur 527	. . 3 |- ( { x e. NN | ph } =/= (/) <-> ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ { x e. NN | ph } =/= (/) ) )
6		rabn0 3958	. . 3 |- ( { x e. NN | ph } =/= (/) <-> E. x e. NN ph )
7	5, 6	bitr3i 266	. 2 |- ( ( { x e. NN | ph } C_ NN /\ { x e. NN | ph } =/= (/) ) <-> E. x e. NN ph )
8		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> E. x ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) )
9		rabid 3116	. . . . 5 |- ( x e. { x e. NN | ph } <-> ( x e. NN /\ ph ) )
10		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> A. y ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) )
11		nnwos.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
12	11	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { x e. NN | ph } <-> ( y e. NN /\ ps ) )
13	12	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> ( ( y e. NN /\ ps ) -> x <_ y ) )
14		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ps ) -> x <_ y ) <-> ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
15	13, 14	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
16	15	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. { x e. NN | ph } -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
17	10, 16	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
18	9, 17	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) <-> ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
19	18	exbii 1774	. . 3 |- ( E. x ( x e. { x e. NN | ph } /\ A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y ) <-> E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
20		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) <-> A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) )
21	20	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) )
22		anass 681	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
23	21, 22	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
24	23	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> E. x ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
25		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) <-> E. x ( x e. NN /\ ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) ) )
26	24, 25	bitr4i 267	. . 3 |- ( E. x ( ( x e. NN /\ ph ) /\ A. y ( y e. NN -> ( ps -> x <_ y ) ) ) <-> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
27	8, 19, 26	3bitri 286	. 2 |- ( E. x e. { x e. NN | ph } A. y e. { x e. NN | ph } x <_ y <-> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )
28	3, 7, 27	3imtr3i 280	1 |- ( E. x e. NN ph -> E. x e. NN ( ph /\ A. y e. NN ( ps -> x <_ y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   <_ cle 10075   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  indstr  11756  infpnlem2  15615