Theorem nthruz 14982

Description: The sequence NN, NN0, and ZZ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to NN0 but not NN and minus one belongs to ZZ but not NN0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 14981. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nthruz	|- ( NN C. NN0 /\ NN0 C. ZZ )

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 11295	. . 3 |- NN C_ NN0
2		0nn0 11307	. . . 4 |- 0 e. NN0
3		0nnn 11052	. . . 4 |- -. 0 e. NN
4	2, 3	pm3.2i 471	. . 3 |- ( 0 e. NN0 /\ -. 0 e. NN )
5		ssnelpss 3718	. . 3 |- ( NN C_ NN0 -> ( ( 0 e. NN0 /\ -. 0 e. NN ) -> NN C. NN0 ) )
6	1, 4, 5	mp2 9	. 2 |- NN C. NN0
7		nn0ssz 11398	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
8		neg1z 11413	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
9		neg1lt0 11127	. . . . 5 |- -u 1 < 0
10		nn0nlt0 11319	. . . . 5 |- ( -u 1 e. NN0 -> -. -u 1 < 0 )
11	9, 10	mt2 191	. . . 4 |- -. -u 1 e. NN0
12	8, 11	pm3.2i 471	. . 3 |- ( -u 1 e. ZZ /\ -. -u 1 e. NN0 )
13		ssnelpss 3718	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( ( -u 1 e. ZZ /\ -. -u 1 e. NN0 ) -> NN0 C. ZZ ) )
14	7, 12, 13	mp2 9	. 2 |- NN0 C. ZZ
15	6, 14	pm3.2i 471	1 |- ( NN C. NN0 /\ NN0 C. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by: (None)