Theorem cnfcom3 8601

Description: Any infinite ordinal B is equinumerous to a power of om. (We are being careful here to show explicit bijections rather than simple equinumerosity because we want a uniform construction for cnfcom3c 8603.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom.a	|- ( ph -> A e. On )
cnfcom.b	|- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
cnfcom.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
cnfcom.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cnfcom.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom.w	|- W = ( G ` U. dom G )
cnfcom3.1	|- ( ph -> om C_ B )
cnfcom.x	|- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
cnfcom.y	|- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
cnfcom.n	|- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom3	|- ( ph -> N : B -1-1-onto-> ( om ^o W ) )

Distinct variable groups:   x, k, z, A   u, k, v, x, z   x, M   ph, u, v   f, k, u, v, x, z, F   u, K, v   u, T, v, z   u, W, v, x   f, G, k, u, v, x, z   f, H, u, v, x   S, k, z   ph, k, x, z

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( v, u, f)   B( x, z, v, u, f, k)   S( x, v, u, f)   T( x, f, k)   H( z, k)   K( x, z, f, k)   M( z, v, u, f, k)   N( x, z, v, u, f, k)   W( z, f, k)   X( x, z, v, u, f, k)   Y( x, z, v, u, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8543	. . . . . 6 |- om e. On
2		cnfcom.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. On )
3		suppssdm 7308	. . . . . . . . 9 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
4		cnfcom.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
5		cnfcom.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = dom ( om CNF A )
6	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> om e. On )
7	5, 6, 2	cantnff1o 8593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) )
8		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S )
9		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
11		cnfcom.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
12	10, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( `' ( om CNF A ) ` B ) e. S )
13	4, 12	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. S )
14	5, 6, 2	cantnfs 8563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) ) )
15	13, 14	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> om )
17		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> om -> dom F = A )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = A )
19	3, 18	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ A )
20		cnfcom.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( G ` U. dom G )
21		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F supp (/) ) e. _V
22		cnfcom.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
23	22	oion 8441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F supp (/) ) e. _V -> dom G e. On )
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom G e. On
25	24	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom G e. _V
26	25	uniex 6953	. . . . . . . . . . . 12 |- U. dom G e. _V
27	26	sucid 5804	. . . . . . . . . . 11 |- U. dom G e. suc U. dom G
28		cnfcom.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
29		cnfcom.t	. . . . . . . . . . . 12 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
30		cnfcom.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
31		cnfcom.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
32		cnfcom3.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> om C_ B )
33		peano1 7085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (/) e. om )
35	32, 34	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (/) e. B )
36	5, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35	cnfcom2lem 8598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = suc U. dom G )
37	27, 36	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. dom G e. dom G )
38	22	oif 8435	. . . . . . . . . . 11 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
39	38	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( U. dom G e. dom G -> ( G ` U. dom G ) e. ( F supp (/) ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` U. dom G ) e. ( F supp (/) ) )
41	20, 40	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. ( F supp (/) ) )
42	19, 41	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. A )
43		onelon 5748	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ W e. A ) -> W e. On )
44	2, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. On )
45		oecl 7617	. . . . . 6 |- ( ( om e. On /\ W e. On ) -> ( om ^o W ) e. On )
46	1, 44, 45	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( om ^o W ) e. On )
47	16, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` W ) e. om )
48		nnon 7071	. . . . . 6 |- ( ( F ` W ) e. om -> ( F ` W ) e. On )
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` W ) e. On )
50		cnfcom.y	. . . . . 6 |- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
51		cnfcom.x	. . . . . 6 |- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
52	50, 51	omf1o 8063	. . . . 5 |- ( ( ( om ^o W ) e. On /\ ( F ` W ) e. On ) -> ( X o. `' Y ) : ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` W ) .o ( om ^o W ) ) )
53	46, 49, 52	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( X o. `' Y ) : ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` W ) .o ( om ^o W ) ) )
54		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> om -> F Fn A )
55	16, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F Fn A )
56		0ex 4790	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. _V )
58		elsuppfn 7303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ A e. On /\ (/) e. _V ) -> ( W e. ( F supp (/) ) <-> ( W e. A /\ ( F ` W ) =/= (/) ) ) )
59	55, 2, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( W e. ( F supp (/) ) <-> ( W e. A /\ ( F ` W ) =/= (/) ) ) )
60		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. A /\ ( F ` W ) =/= (/) ) -> ( F ` W ) =/= (/) )
61	59, 60	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( W e. ( F supp (/) ) -> ( F ` W ) =/= (/) ) )
62	41, 61	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` W ) =/= (/) )
63		on0eln0 5780	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` W ) e. On -> ( (/) e. ( F ` W ) <-> ( F ` W ) =/= (/) ) )
64	47, 48, 63	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (/) e. ( F ` W ) <-> ( F ` W ) =/= (/) ) )
65	62, 64	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> (/) e. ( F ` W ) )
66	5, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 32	cnfcom3lem 8600	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. ( On \ 1o ) )
67		ondif1 7581	. . . . . . . 8 |- ( W e. ( On \ 1o ) <-> ( W e. On /\ (/) e. W ) )
68	67	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( W e. ( On \ 1o ) -> (/) e. W )
69	66, 68	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> (/) e. W )
70		omabs 7727	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` W ) e. om /\ (/) e. ( F ` W ) ) /\ ( W e. On /\ (/) e. W ) ) -> ( ( F ` W ) .o ( om ^o W ) ) = ( om ^o W ) )
71	47, 65, 44, 69, 70	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` W ) .o ( om ^o W ) ) = ( om ^o W ) )
72		f1oeq3 6129	. . . . 5 |- ( ( ( F ` W ) .o ( om ^o W ) ) = ( om ^o W ) -> ( ( X o. `' Y ) : ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` W ) .o ( om ^o W ) ) <-> ( X o. `' Y ) : ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
73	71, 72	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X o. `' Y ) : ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` W ) .o ( om ^o W ) ) <-> ( X o. `' Y ) : ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
74	53, 73	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( X o. `' Y ) : ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
75	5, 2, 11, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 20, 35	cnfcom2 8599	. . 3 |- ( ph -> ( T ` dom G ) : B -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) )
76		f1oco 6159	. . 3 |- ( ( ( X o. `' Y ) : ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) -1-1-onto-> ( om ^o W ) /\ ( T ` dom G ) : B -1-1-onto-> ( ( om ^o W ) .o ( F ` W ) ) ) -> ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) ) : B -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
77	74, 75, 76	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) ) : B -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
78		cnfcom.n	. . 3 |- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
79		f1oeq1 6127	. . 3 |- ( N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) ) -> ( N : B -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) ) : B -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
80	78, 79	ax-mp 5	. 2 |- ( N : B -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) ) : B -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
81	77, 80	sylibr 224	1 |- ( ph -> N : B -1-1-onto-> ( om ^o W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   1oc1o 7553   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cnfcom3clem  8602