Theorem opsrtoslem1 19484

Description: Lemma for opsrtos 19486. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	|- O = ( ( I ordPwSer R ) ` T )
opsrso.i	|- ( ph -> I e. V )
opsrso.r	|- ( ph -> R e. Toset )
opsrso.t	|- ( ph -> T C_ ( I X. I ) )
opsrso.w	|- ( ph -> T We I )
opsrtoslem.s	|- S = ( I mPwSer R )
opsrtoslem.b	|- B = ( Base ` S )
opsrtoslem.q	|- .< = ( lt ` R )
opsrtoslem.c	|- C = ( T <bag I )
opsrtoslem.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
opsrtoslem.ps	|- ( ps <-> E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
opsrtoslem.l	|- .<_ = ( le ` O )

Assertion

Ref	Expression
opsrtoslem1	|- ( ph -> .<_ = ( ( { <. x , y >. | ps } i^i ( B X. B ) ) u. ( _I |` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, w, y, z, C   w, h, x, y, z, I   ph, h, w, x, y, z   w, D, x, y, z   w, .< , x, y, z   w, R, x, y, z   w, T, x, y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z, w, h)   B( z, w, h)   C( h)   D( h)   R( h)   S( x, y, z, w, h)   .< ( h)   T( h)   .<_ ( x, y, z, w, h)   O( x, y, z, w, h)   V( x, y, z, w, h)

Proof of Theorem opsrtoslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrtoslem.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		opsrso.o	. . 3 |- O = ( ( I ordPwSer R ) ` T )
3		opsrtoslem.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
4		opsrtoslem.q	. . 3 |- .< = ( lt ` R )
5		opsrtoslem.c	. . 3 |- C = ( T <bag I )
6		opsrtoslem.d	. . 3 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
7		opsrtoslem.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` O )
8		opsrso.t	. . 3 |- ( ph -> T C_ ( I X. I ) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	opsrle 19475	. 2 |- ( ph -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } )
10		unopab 4728	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ps ) } u. { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ x = y ) } ) = { <. x , y >. | ( ( { x , y } C_ B /\ ps ) \/ ( { x , y } C_ B /\ x = y ) ) }
11		inopab 5252	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ps } i^i { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. B ) } ) = { <. x , y >. | ( ps /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) }
12		df-xp 5120	. . . . . 6 |- ( B X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. B ) }
13	12	ineq2i 3811	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ps } i^i ( B X. B ) ) = ( { <. x , y >. | ps } i^i { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. B ) } )
14		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
15		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
16	14, 15	prss 4351	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> { x , y } C_ B )
17	16	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ps ) <-> ( { x , y } C_ B /\ ps ) )
18		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ps ) <-> ( ps /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) )
19	17, 18	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( ( { x , y } C_ B /\ ps ) <-> ( ps /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) )
20	19	opabbii 4717	. . . . 5 |- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ps ) } = { <. x , y >. | ( ps /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) }
21	11, 13, 20	3eqtr4i 2654	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ps } i^i ( B X. B ) ) = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ps ) }
22		opabresid 5455	. . . . 5 |- { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = x ) } = ( _I |` B )
23		equcom 1945	. . . . . . . . 9 |- ( x = y <-> y = x )
24	23	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ x = y ) <-> ( x e. B /\ y = x ) )
25		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
26	25	biimpac 503	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ x = y ) -> y e. B )
27	26	pm4.71i 664	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ x = y ) <-> ( ( x e. B /\ x = y ) /\ y e. B ) )
28	24, 27	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y = x ) <-> ( ( x e. B /\ x = y ) /\ y e. B ) )
29		an32 839	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. B /\ x = y ) /\ y e. B ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ x = y ) )
30	16	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ x = y ) <-> ( { x , y } C_ B /\ x = y ) )
31	28, 29, 30	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ y = x ) <-> ( { x , y } C_ B /\ x = y ) )
32	31	opabbii 4717	. . . . 5 |- { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = x ) } = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ x = y ) }
33	22, 32	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ( _I |` B ) = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ x = y ) }
34	21, 33	uneq12i 3765	. . 3 |- ( ( { <. x , y >. | ps } i^i ( B X. B ) ) u. ( _I |` B ) ) = ( { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ps ) } u. { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ x = y ) } )
35		opsrtoslem.ps	. . . . . . 7 |- ( ps <-> E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) )
36	35	orbi1i 542	. . . . . 6 |- ( ( ps \/ x = y ) <-> ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) )
37	36	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( { x , y } C_ B /\ ( ps \/ x = y ) ) <-> ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) )
38		andi 911	. . . . 5 |- ( ( { x , y } C_ B /\ ( ps \/ x = y ) ) <-> ( ( { x , y } C_ B /\ ps ) \/ ( { x , y } C_ B /\ x = y ) ) )
39	37, 38	bitr3i 266	. . . 4 |- ( ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) <-> ( ( { x , y } C_ B /\ ps ) \/ ( { x , y } C_ B /\ x = y ) ) )
40	39	opabbii 4717	. . 3 |- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = { <. x , y >. | ( ( { x , y } C_ B /\ ps ) \/ ( { x , y } C_ B /\ x = y ) ) }
41	10, 34, 40	3eqtr4ri 2655	. 2 |- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = ( ( { <. x , y >. | ps } i^i ( B X. B ) ) u. ( _I |` B ) )
42	9, 41	syl6eq 2672	1 |- ( ph -> .<_ = ( ( { <. x , y >. | ps } i^i ( B X. B ) ) u. ( _I |` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   _I cid 5023   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   lecple 15948   ltcplt 16941  Tosetctos 17033   mPwSer cmps 19351   <_bag cltb 19354   ordPwSer copws 19355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ple 15961  df-psr 19356  df-opsr 19360

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  19485