Theorem ordtypelem9 8431

Description: Lemma for ordtype 8437. Either the function OrdIso is an isomorphism onto all of A, or OrdIso is not a set, which by oif 8435 implies that either ran O C_ A is a proper class or dom O = On. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	|- F = recs ( G )
ordtypelem.2	|- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
ordtypelem.3	|- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
ordtypelem.5	|- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6	|- O = OrdIso ( R , A )
ordtypelem.7	|- ( ph -> R We A )
ordtypelem.8	|- ( ph -> R Se A )
ordtypelem9.1	|- ( ph -> O e. _V )

Assertion

Ref	Expression
ordtypelem9	|- ( ph -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )

Distinct variable groups:   v, u, C   h, j, t, u, v, w, x, z, R   A, h, j, t, u, v, w, x, z   t, O, u, v, x   ph, t, x   h, F, j, t, u, v, w, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z, w, v, u, h, j)   C( x, z, w, t, h, j)   T( x, z, w, v, u, t, h, j)   G( x, z, w, v, u, t, h, j)   O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem9

Dummy variables a b c m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypelem.1	. . 3 |- F = recs ( G )
2		ordtypelem.2	. . 3 |- C = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
3		ordtypelem.3	. . 3 |- G = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. C A. u e. C -. u R v ) )
4		ordtypelem.5	. . 3 |- T = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t }
5		ordtypelem.6	. . 3 |- O = OrdIso ( R , A )
6		ordtypelem.7	. . 3 |- ( ph -> R We A )
7		ordtypelem.8	. . 3 |- ( ph -> R Se A )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem8 8430	. 2 |- ( ph -> O Isom _E , R ( dom O , ran O ) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem4 8426	. . . . 5 |- ( ph -> O : ( T i^i dom F ) --> A )
10		frn 6053	. . . . 5 |- ( O : ( T i^i dom F ) --> A -> ran O C_ A )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran O C_ A )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem2 8424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Ord T )
13		ordirr 5741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord T -> -. T e. T )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. T e. T )
15	1	tfr1a 7490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun F /\ Lim dom F )
16	15	simpri 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Lim dom F
17		limord 5784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim dom F -> Ord dom F )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Ord dom F
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem1 8423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> O = ( F |` T ) )
20		ordtypelem9.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> O e. _V )
21	19, 20	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F |` T ) e. _V )
22	1	tfr2b 7492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord T -> ( T e. dom F <-> ( F |` T ) e. _V ) )
23	12, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T e. dom F <-> ( F |` T ) e. _V ) )
24	21, 23	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. dom F )
25		ordelon 5747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord dom F /\ T e. dom F ) -> T e. On )
26	18, 24, 25	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. On )
27		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = T -> ( F " a ) = ( F " T ) )
28	27	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = T -> ( A. c e. ( F " a ) c R b <-> A. c e. ( F " T ) c R b ) )
29	28	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = T -> ( E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b <-> E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b ) )
30		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = c -> ( z R t <-> c R t ) )
31	30	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. z e. ( F " x ) z R t <-> A. c e. ( F " x ) c R t )
32		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = b -> ( c R t <-> c R b ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = b -> ( A. c e. ( F " x ) c R t <-> A. c e. ( F " x ) c R b ) )
34	31, 33	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = b -> ( A. z e. ( F " x ) z R t <-> A. c e. ( F " x ) c R b ) )
35	34	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. b e. A A. c e. ( F " x ) c R b )
36		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> ( F " x ) = ( F " a ) )
37	36	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( A. c e. ( F " x ) c R b <-> A. c e. ( F " a ) c R b ) )
38	37	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( E. b e. A A. c e. ( F " x ) c R b <-> E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b ) )
39	35, 38	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t <-> E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b ) )
40	39	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. On | E. t e. A A. z e. ( F " x ) z R t } = { a e. On | E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b }
41	4, 40	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { a e. On | E. b e. A A. c e. ( F " a ) c R b }
42	29, 41	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T e. T <-> ( T e. On /\ E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b ) )
43	42	baib 944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. On -> ( T e. T <-> E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b ) )
44	26, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T e. T <-> E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b ) )
45	14, 44	mtbid 314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b )
46		ralnex 2992	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. b e. A -. A. c e. ( F " T ) c R b <-> -. E. b e. A A. c e. ( F " T ) c R b )
47	45, 46	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. b e. A -. A. c e. ( F " T ) c R b )
48	47	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> -. A. c e. ( F " T ) c R b )
49	19	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran O = ran ( F |` T ) )
50		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F " T ) = ran ( F |` T )
51	49, 50	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran O = ( F " T ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ran O = ( F " T ) )
53	52	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( A. c e. ran O c R b <-> A. c e. ( F " T ) c R b ) )
54		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O : ( T i^i dom F ) --> A -> Fun O )
55	9, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun O )
56		funfn 5918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun O <-> O Fn dom O )
57	55, 56	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> O Fn dom O )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> O Fn dom O )
59		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( O ` m ) -> ( c R b <-> ( O ` m ) R b ) )
60	59	ralrn 6362	. . . . . . . . . . 11 |- ( O Fn dom O -> ( A. c e. ran O c R b <-> A. m e. dom O ( O ` m ) R b ) )
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( A. c e. ran O c R b <-> A. m e. dom O ( O ` m ) R b ) )
62	53, 61	bitr3d 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( A. c e. ( F " T ) c R b <-> A. m e. dom O ( O ` m ) R b ) )
63	48, 62	mtbid 314	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> -. A. m e. dom O ( O ` m ) R b )
64		rexnal 2995	. . . . . . . 8 |- ( E. m e. dom O -. ( O ` m ) R b <-> -. A. m e. dom O ( O ` m ) R b )
65	63, 64	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> E. m e. dom O -. ( O ` m ) R b )
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem7 8429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ m e. dom O ) -> ( ( O ` m ) R b \/ b e. ran O ) )
67	66	ord 392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ m e. dom O ) -> ( -. ( O ` m ) R b -> b e. ran O ) )
68	67	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( E. m e. dom O -. ( O ` m ) R b -> b e. ran O ) )
69	65, 68	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> b e. ran O )
70	69	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( b e. A -> b e. ran O ) )
71	70	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ran O )
72	11, 71	eqssd 3620	. . 3 |- ( ph -> ran O = A )
73		isoeq5 6571	. . 3 |- ( ran O = A -> ( O Isom _E , R ( dom O , ran O ) <-> O Isom _E , R ( dom O , A ) ) )
74	72, 73	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( O Isom _E , R ( dom O , ran O ) <-> O Isom _E , R ( dom O , A ) ) )
75	8, 74	mpbid 222	1 |- ( ph -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   Se wse 5071   We wwe 5072   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889   iota_crio 6610  recscrecs 7467  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  ordtypelem10  8432  ordtype2  8439