Theorem pimdecfgtioo 40927

Description: Given a non decreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimdecfgtioo.x	|- F/ x ph
pimdecfgtioo.h	|- F/ y ph
pimdecfgtioo.a	|- ( ph -> A C_ RR )
pimdecfgtioo.f	|- ( ph -> F : A --> RR* )
pimdecfgtioo.d	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
pimdecfgtioo.r	|- ( ph -> R e. RR* )
pimdecfgtioo.y	|- Y = { x e. A | R < ( F ` x ) }
pimdecfgtioo.c	|- S = sup ( Y , RR* , < )
pimdecfgtioo.e	|- ( ph -> -. S e. Y )
pimdecfgtioo.i	|- I = ( -oo (,) S )

Assertion

Ref	Expression
pimdecfgtioo	|- ( ph -> Y = ( I i^i A ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y   x, I, y   x, R, y   y, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   S( x, y)   Y( x)

Proof of Theorem pimdecfgtioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioo.y	. . . . . . 7 |- Y = { x e. A | R < ( F ` x ) }
2		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { x e. A | R < ( F ` x ) } C_ A
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- Y C_ A
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Y C_ A )
5		pimdecfgtioo.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
6	4, 5	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ RR )
7		pimdecfgtioo.c	. . . 4 |- S = sup ( Y , RR* , < )
8		pimdecfgtioo.e	. . . 4 |- ( ph -> -. S e. Y )
9		pimdecfgtioo.i	. . . 4 |- I = ( -oo (,) S )
10	6, 7, 8, 9	ressioosup 39782	. . 3 |- ( ph -> Y C_ I )
11	10, 4	ssind 3837	. 2 |- ( ph -> Y C_ ( I i^i A ) )
12		pimdecfgtioo.x	. . . 4 |- F/ x ph
13		elinel2 3800	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( I i^i A ) -> x e. A )
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. A )
15		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e. RR*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> -oo e. RR* )
17		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ RR*
18	6, 17	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y C_ RR* )
19	18	supxrcld 39290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( Y , RR* , < ) e. RR* )
20	7, 19	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. RR* )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> S e. RR* )
22		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( I i^i A ) -> x e. I )
23	22, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( I i^i A ) -> x e. ( -oo (,) S ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. ( -oo (,) S ) )
25		iooltub 39735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -oo e. RR* /\ S e. RR* /\ x e. ( -oo (,) S ) ) -> x < S )
26	16, 21, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x < S )
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> x < S )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> -. R < ( F ` x ) )
29		pimdecfgtioo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : A --> RR* )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> F : A --> RR* )
31	30, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> ( F ` x ) e. RR* )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. RR* )
33		pimdecfgtioo.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> R e. RR* )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> R e. RR* )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> R e. RR* )
36	32, 35	xrlenltd 10104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( ( F ` x ) <_ R <-> -. R < ( F ` x ) ) )
37	28, 36	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) <_ R )
38		pimdecfgtioo.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y ph
39		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ y x e. ( I i^i A )
40	38, 39	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( ph /\ x e. ( I i^i A ) )
41		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( F ` x ) <_ R
42	40, 41	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
44	43	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( R < ( F ` x ) <-> R < ( F ` y ) ) )
45	44, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Y <-> ( y e. A /\ R < ( F ` y ) ) )
46	45	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. Y -> ( y e. A /\ R < ( F ` y ) ) )
47	46	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. Y -> R < ( F ` y ) )
48	47	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> R < ( F ` y ) )
49	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> A C_ RR )
50	49, 14	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. RR )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> x e. RR )
52	6	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. RR )
53	52	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> y e. RR )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> -. y <_ x )
55	51, 53	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
56	54, 55	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> x < y )
57	51, 53, 56	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> x <_ y )
58	57	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> x <_ y )
59	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> F : A --> RR* )
60	4	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. A )
61	59, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( F ` y ) e. RR* )
62	61	ad5ant14 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) e. RR* )
63	31	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` x ) e. RR* )
64	34	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> R e. RR* )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> x <_ y )
66		pimdecfgtioo.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
67		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) /\ x e. A ) -> A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
68	66, 13, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
69	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
70	60	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> y e. A )
71		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) /\ y e. A ) -> ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
72	69, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
73	65, 72	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) )
74	73	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) )
75		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` x ) <_ R )
76	62, 63, 64, 74, 75	xrletrd 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( F ` y ) <_ R )
77	62, 64	xrlenltd 10104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> ( ( F ` y ) <_ R <-> -. R < ( F ` y ) ) )
78	76, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ x <_ y ) -> -. R < ( F ` y ) )
79	58, 78	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) /\ -. y <_ x ) -> -. R < ( F ` y ) )
80	48, 79	condan 835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) /\ y e. Y ) -> y <_ x )
81	80	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) -> ( y e. Y -> y <_ x ) )
82	42, 81	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ ( F ` x ) <_ R ) -> A. y e. Y y <_ x )
83	37, 82	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> A. y e. Y y <_ x )
84	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> Y C_ RR* )
85	17, 50	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. RR* )
86		supxrleub 12156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y C_ RR* /\ x e. RR* ) -> ( sup ( Y , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. Y y <_ x ) )
87	84, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> ( sup ( Y , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. Y y <_ x ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( sup ( Y , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. Y y <_ x ) )
89	83, 88	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> sup ( Y , RR* , < ) <_ x )
90	7, 89	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> S <_ x )
91	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> S e. RR* )
92	85	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> x e. RR* )
93	91, 92	xrlenltd 10104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> ( S <_ x <-> -. x < S ) )
94	90, 93	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) /\ -. R < ( F ` x ) ) -> -. x < S )
95	27, 94	condan 835	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> R < ( F ` x ) )
96	14, 95	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> ( x e. A /\ R < ( F ` x ) ) )
97	1	rabeq2i 3197	. . . . . 6 |- ( x e. Y <-> ( x e. A /\ R < ( F ` x ) ) )
98	96, 97	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( I i^i A ) ) -> x e. Y )
99	98	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( I i^i A ) -> x e. Y ) )
100	12, 99	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( I i^i A ) x e. Y )
101		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x ( I i^i A )
102		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ x { x e. A | R < ( F ` x ) }
103	1, 102	nfcxfr 2762	. . . 4 |- F/_ x Y
104	101, 103	dfss3f 3595	. . 3 |- ( ( I i^i A ) C_ Y <-> A. x e. ( I i^i A ) x e. Y )
105	100, 104	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( I i^i A ) C_ Y )
106	11, 105	eqssd 3620	1 |- ( ph -> Y = ( I i^i A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  decsmflem  40974