Theorem pj1lmhm2 19101

Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1lmhm.l	|- L = ( LSubSp ` W )
pj1lmhm.s	|- .(+) = ( LSSum ` W )
pj1lmhm.z	|- .0. = ( 0g ` W )
pj1lmhm.p	|- P = ( proj1 ` W )
pj1lmhm.1	|- ( ph -> W e. LMod )
pj1lmhm.2	|- ( ph -> T e. L )
pj1lmhm.3	|- ( ph -> U e. L )
pj1lmhm.4	|- ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
pj1lmhm2	|- ( ph -> ( T P U ) e. ( ( W ↾s ( T .(+) U ) ) LMHom ( W ↾s T ) ) )

Proof of Theorem pj1lmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1lmhm.l	. . 3 |- L = ( LSubSp ` W )
2		pj1lmhm.s	. . 3 |- .(+) = ( LSSum ` W )
3		pj1lmhm.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
4		pj1lmhm.p	. . 3 |- P = ( proj1 ` W )
5		pj1lmhm.1	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
6		pj1lmhm.2	. . 3 |- ( ph -> T e. L )
7		pj1lmhm.3	. . 3 |- ( ph -> U e. L )
8		pj1lmhm.4	. . 3 |- ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pj1lmhm 19100	. 2 |- ( ph -> ( T P U ) e. ( ( W ↾s ( T .(+) U ) ) LMHom W ) )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- (Cntz ` W ) = (Cntz ` W )
12	1	lsssssubg 18958	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> L C_ (SubGrp ` W ) )
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> L C_ (SubGrp ` W ) )
14	13, 6	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` W ) )
15	13, 7	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` W ) )
16		lmodabl 18910	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
17	5, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Abel )
18	11, 17, 14, 15	ablcntzd 18260	. . . . 5 |- ( ph -> T C_ ( (Cntz ` W ) ` U ) )
19	10, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4	pj1f 18110	. . . 4 |- ( ph -> ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T )
20		frn 6053	. . . 4 |- ( ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T -> ran ( T P U ) C_ T )
21	19, 20	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( T P U ) C_ T )
22		eqid 2622	. . . 4 |- ( W ↾s T ) = ( W ↾s T )
23	22, 1	reslmhm2b 19054	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T e. L /\ ran ( T P U ) C_ T ) -> ( ( T P U ) e. ( ( W ↾s ( T .(+) U ) ) LMHom W ) <-> ( T P U ) e. ( ( W ↾s ( T .(+) U ) ) LMHom ( W ↾s T ) ) ) )
24	5, 6, 21, 23	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( T P U ) e. ( ( W ↾s ( T .(+) U ) ) LMHom W ) <-> ( T P U ) e. ( ( W ↾s ( T .(+) U ) ) LMHom ( W ↾s T ) ) ) )
25	9, 24	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( T P U ) e. ( ( W ↾s ( T .(+) U ) ) LMHom ( W ↾s T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   LSSumclsm 18049   proj1cpj1 18050   Abelcabl 18194   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LMHom clmhm 19019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022

This theorem is referenced by: (None)