Theorem mdetunilem7 20424

Description: Lemma for mdetuni 20428. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	|- A = ( N Mat R )
mdetuni.b	|- B = ( Base ` A )
mdetuni.k	|- K = ( Base ` R )
mdetuni.0g	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetuni.1r	|- .1. = ( 1r ` R )
mdetuni.pg	|- .+ = ( +g ` R )
mdetuni.tg	|- .x. = ( .r ` R )
mdetuni.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mdetuni.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdetuni.ff	|- ( ph -> D : B --> K )
mdetuni.al	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
mdetuni.li	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.sc	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem7	|- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z, w, a, b   x, B, y, z, w, a, b   x, K, y, z, w, a, b   x, N, y, z, w, a, b   x, D, y, z, w, a, b   x, .x. , y, z, w   .+ , a, b, x, y, z, w   .0. , a, b, x, y, z, w   .1. , a, b, x, y, z, w   x, R, y, z, w   A, a, b, x, y, z, w   x, E, y, z, w   x, F, y, z, w   E, a, b   F, a, b

Allowed substitution hints:   R( a, b)   .x. ( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem7

Dummy variables c d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( c = d -> ( c ` a ) = ( d ` a ) )
2	1	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( c = d -> ( ( c ` a ) F b ) = ( ( d ` a ) F b ) )
3	2	mpt2eq3dv 6721	. . . 4 |- ( c = d -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) )
4	3	fveq2d 6195	. . 3 |- ( c = d -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
5		fveq2 6191	. . . 4 |- ( c = d -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) )
6	5	oveq1d 6665	. . 3 |- ( c = d -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) )
7	4, 6	eqeq12d 2637	. 2 |- ( c = d -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) )
8		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( c ` a ) = ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( ( c ` a ) F b ) = ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) )
10	9	mpt2eq3dv 6721	. . . 4 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) )
11	10	fveq2d 6195	. . 3 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) )
12		fveq2 6191	. . . 4 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) )
13	12	oveq1d 6665	. . 3 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
14	11, 13	eqeq12d 2637	. 2 |- ( c = ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) ) )
15		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( c ` a ) = ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) )
16	15	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( ( c ` a ) F b ) = ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) )
17	16	mpt2eq3dv 6721	. . . 4 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) )
18	17	fveq2d 6195	. . 3 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) ) )
19		fveq2 6191	. . . 4 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) )
20	19	oveq1d 6665	. . 3 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) .x. ( D ` F ) ) )
21	18, 20	eqeq12d 2637	. 2 |- ( c = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) .x. ( D ` F ) ) ) )
22		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( c = E -> ( c ` a ) = ( E ` a ) )
23	22	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( c = E -> ( ( c ` a ) F b ) = ( ( E ` a ) F b ) )
24	23	mpt2eq3dv 6721	. . . 4 |- ( c = E -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) )
25	24	fveq2d 6195	. . 3 |- ( c = E -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) ) )
26		fveq2 6191	. . . 4 |- ( c = E -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) )
27	26	oveq1d 6665	. . 3 |- ( c = E -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` F ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2637	. 2 |- ( c = E -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( c ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` c ) .x. ( D ` F ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` F ) ) ) )
29		eqid 2622	. 2 |- ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) )
30		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) = ( +g ` ( SymGrp ` N ) )
31		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
32		mdetuni.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. Fin )
33	32	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> N e. Fin )
34		eqid 2622	. . . 4 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
35	34	symggrp 17820	. . 3 |- ( N e. Fin -> ( SymGrp ` N ) e. Grp )
36		grpmnd 17429	. . 3 |- ( ( SymGrp ` N ) e. Grp -> ( SymGrp ` N ) e. Mnd )
37	33, 35, 36	3syl 18	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( SymGrp ` N ) e. Mnd )
38		eqid 2622	. . . 4 |- ran (pmTrsp ` N ) = ran (pmTrsp ` N )
39	38, 34, 31	symgtrf 17889	. . 3 |- ran (pmTrsp ` N ) C_ ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
40	39	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ran (pmTrsp ` N ) C_ ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
41		eqid 2622	. . . . . 6 |- (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) = (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) )
42	38, 34, 31, 41	symggen2 17891	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> ( (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) ` ran (pmTrsp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
43	32, 42	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) ` ran (pmTrsp ` N ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
44	43	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) ` ran (pmTrsp ` N ) ) )
45	44	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( (mrCls ` (SubMnd ` ( SymGrp ` N ) ) ) ` ran (pmTrsp ` N ) ) )
46		mdetuni.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
47	46	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> R e. Ring )
48		mdetuni.ff	. . . . . 6 |- ( ph -> D : B --> K )
49	48	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> D : B --> K )
50		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F e. B )
51	49, 50	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` F ) e. K )
52		mdetuni.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
53		mdetuni.tg	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
54		mdetuni.1r	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
55	52, 53, 54	ringlidm 18571	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` F ) e. K ) -> ( .1. .x. ( D ` F ) ) = ( D ` F ) )
56	47, 51, 55	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( .1. .x. ( D ` F ) ) = ( D ` F ) )
57		zrhpsgnmhm 19930	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
58	46, 32, 57	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
60	59, 54	ringidval 18503	. . . . . . 7 |- .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
61	29, 60	mhm0 17343	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) = .1. )
62	58, 61	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) = .1. )
63	62	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) = .1. )
64	63	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) .x. ( D ` F ) ) = ( .1. .x. ( D ` F ) ) )
65	34	symgid 17821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. Fin -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
66	32, 65	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
67	66	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( _I |` N ) = ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) )
69	68	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( _I |` N ) ` a ) = ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) )
70		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> a e. N )
71		fvresi 6439	. . . . . . . . 9 |- ( a e. N -> ( ( _I |` N ) ` a ) = a )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( _I |` N ) ` a ) = a )
73	69, 72	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) = a )
74	73	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) = ( a F b ) )
75	74	mpt2eq3dva 6719	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( a F b ) ) )
76		mdetuni.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
77		mdetuni.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
78	76, 52, 77	matbas2i 20228	. . . . . . . 8 |- ( F e. B -> F e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
79	78	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
80		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( F e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> F : ( N X. N ) --> K )
81		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( F : ( N X. N ) --> K -> F Fn ( N X. N ) )
82	79, 80, 81	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F Fn ( N X. N ) )
83		fnov 6768	. . . . . 6 |- ( F Fn ( N X. N ) <-> F = ( a e. N , b e. N |-> ( a F b ) ) )
84	82, 83	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F = ( a e. N , b e. N |-> ( a F b ) ) )
85	75, 84	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) = F )
86	85	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) ) = ( D ` F ) )
87	56, 64, 86	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( 0g ` ( SymGrp ` N ) ) ) .x. ( D ` F ) ) )
88		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
89	39	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. ran (pmTrsp ` N ) -> e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
90	89	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
91	34, 31, 30	symgov 17810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) = ( d o. e ) )
92	88, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) = ( d o. e ) )
93	92	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) = ( ( d o. e ) ` a ) )
94	93	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) = ( ( d o. e ) ` a ) )
95	34, 31	symgbasf1o 17803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> e : N -1-1-onto-> N )
96		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e : N -1-1-onto-> N -> e : N --> N )
97	90, 95, 96	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e : N --> N )
98	97	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> e : N --> N )
99		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> a e. N )
100		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e : N --> N /\ a e. N ) -> ( ( d o. e ) ` a ) = ( d ` ( e ` a ) ) )
101	98, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d o. e ) ` a ) = ( d ` ( e ` a ) ) )
102	94, 101	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) = ( d ` ( e ` a ) ) )
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) = ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) )
104	103	mpt2eq3dva 6719	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) )
106	34, 31	symgbasf 17804	. . . . . 6 |- ( d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) -> d : N --> N )
107		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (pmTrsp ` N ) = (pmTrsp ` N )
108	107, 38	pmtrrn2 17880	. . . . . . . 8 |- ( e e. ran (pmTrsp ` N ) -> E. c e. N E. f e. N ( c =/= f /\ e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ) )
109		mdetuni.0g	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. = ( 0g ` R )
110		mdetuni.pg	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` R )
111		mdetuni.al	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
112		mdetuni.li	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
113		mdetuni.sc	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
114		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ph )
115		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c e. N /\ f e. N /\ c =/= f ) <-> ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) )
116	115	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) -> ( c e. N /\ f e. N /\ c =/= f ) )
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( c e. N /\ f e. N /\ c =/= f ) )
118	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> F : ( N X. N ) --> K )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) -> F : ( N X. N ) --> K )
120	119	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> F : ( N X. N ) --> K )
121		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> d : N --> N )
122		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> f e. N )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> f e. N )
124	121, 123	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( d ` f ) e. N )
125		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> b e. N )
126	120, 124, 125	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( ( d ` f ) F b ) e. K )
127		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> c e. N )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> c e. N )
129	121, 128	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( d ` c ) e. N )
130	120, 129, 125	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( ( d ` c ) F b ) e. K )
131	126, 130	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ b e. N ) -> ( ( ( d ` f ) F b ) e. K /\ ( ( d ` c ) F b ) e. K ) )
132	118	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> F : ( N X. N ) --> K )
133	132	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> F : ( N X. N ) --> K )
134		simp1lr 1125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> d : N --> N )
135		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> a e. N )
136	134, 135	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( d ` a ) e. N )
137		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
138	133, 136, 137	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ` a ) F b ) e. K )
139	76, 77, 52, 109, 54, 110, 53, 32, 46, 48, 111, 112, 113, 114, 117, 131, 138	mdetunilem6 20423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) ) )
140		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) -> ph )
141		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = c -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` c ) )
142	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> N e. Fin )
143		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> c e. N )
144		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> f e. N )
145		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> c =/= f )
146	107	pmtrprfv 17873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. Fin /\ ( c e. N /\ f e. N /\ c =/= f ) ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` c ) = f )
147	142, 143, 144, 145, 146	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` c ) = f )
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` c ) = f )
149	141, 148	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = f )
150	149	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) = ( d ` f ) )
151	150	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = ( ( d ` f ) F b ) )
152		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( d ` f ) F b ) )
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( d ` f ) F b ) )
154	151, 153	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = c ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
155		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = f -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` f ) )
156		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { c , f } = { f , c }
157	156	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) = ( (pmTrsp ` N ) ` { f , c } )
158	157	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` f ) = ( ( (pmTrsp ` N ) ` { f , c } ) ` f )
159	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> N e. Fin )
160		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( c e. N /\ f e. N ) )
161	160	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> f e. N )
162	160	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> c e. N )
163		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> c =/= f )
164	163	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> f =/= c )
165	107	pmtrprfv 17873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. Fin /\ ( f e. N /\ c e. N /\ f =/= c ) ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { f , c } ) ` f ) = c )
166	159, 161, 162, 164, 165	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { f , c } ) ` f ) = c )
167	158, 166	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` f ) = c )
168	155, 167	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = c )
169	168	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) = ( d ` c ) )
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = ( ( d ` c ) F b ) )
171		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = f -> if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` c ) F b ) )
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` c ) F b ) )
173	170, 172	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
174	173	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
175		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- a e. _V
176	175	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( a e. { c , f } <-> ( a = c \/ a = f ) )
177	176	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. a e. { c , f } <-> -. ( a = c \/ a = f ) )
178		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. ( a = c \/ a = f ) <-> ( -. a = c /\ -. a = f ) )
179	177, 178	sylbbr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. a = c /\ -. a = f ) -> -. a e. { c , f } )
180	179	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> -. a e. { c , f } )
181		prssi 4353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( c e. N /\ f e. N ) -> { c , f } C_ N )
182	160, 181	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> { c , f } C_ N )
183		pr2ne 8828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( c e. N /\ f e. N ) -> ( { c , f } ~~ 2o <-> c =/= f ) )
184	160, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( { c , f } ~~ 2o <-> c =/= f ) )
185	163, 184	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> { c , f } ~~ 2o )
186	107	pmtrmvd 17876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. Fin /\ { c , f } C_ N /\ { c , f } ~~ 2o ) -> dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) = { c , f } )
187	159, 182, 185, 186	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) = { c , f } )
188	187	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) <-> a e. { c , f } ) )
189	188	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) <-> -. a e. { c , f } ) )
190	189	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) <-> -. a e. { c , f } ) )
191	180, 190	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) )
192	107	pmtrf 17875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. Fin /\ { c , f } C_ N /\ { c , f } ~~ 2o ) -> ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) : N --> N )
193	159, 182, 185, 192	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) : N --> N )
194		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) : N --> N -> ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) Fn N )
195	193, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) Fn N )
196		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> a e. N )
197		fnelnfp 6443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) Fn N /\ a e. N ) -> ( a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) <-> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) =/= a ) )
198	197	necon2bbid 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) Fn N /\ a e. N ) -> ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = a <-> -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) ) )
199	195, 196, 198	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = a <-> -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) ) )
200	199	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = a <-> -. a e. dom ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) \ _I ) ) )
201	191, 200	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) = a )
202	201	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) = ( d ` a ) )
203	202	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = ( ( d ` a ) F b ) )
204		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. a = f -> if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` a ) F b ) )
205	204	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` a ) F b ) )
206	203, 205	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) /\ -. a = f ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
207	174, 206	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
208		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. a = c -> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
209	208	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) -> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
210	207, 209	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) /\ -. a = c ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
211	154, 210	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
212	211	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
213	212	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
214	140, 213	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
215	214	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` f ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` c ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
216		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = c -> ( d ` a ) = ( d ` c ) )
217	216	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> ( ( d ` a ) F b ) = ( ( d ` c ) F b ) )
218		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = c -> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( d ` c ) F b ) )
219	217, 218	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = c -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
220		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = f -> ( d ` a ) = ( d ` f ) )
221	220	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = f -> ( ( d ` a ) F b ) = ( ( d ` f ) F b ) )
222		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = f -> if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` f ) F b ) )
223	221, 222	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = f -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
224	223	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. a = c /\ a = f ) -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
225		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. a = f -> if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) = ( ( d ` a ) F b ) )
226	225	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. a = f -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
227	226	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. a = c /\ -. a = f ) -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
228	224, 227	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. a = c -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
229		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. a = c -> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) = if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
230	228, 229	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. a = c -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
231	219, 230	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) )
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( ( d ` a ) F b ) = if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
233	232	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) )
234	233	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
235	234	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = c , ( ( d ` c ) F b ) , if ( a = f , ( ( d ` f ) F b ) , ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) ) )
237	139, 215, 236	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
238		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( e ` a ) = ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) )
239	238	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( d ` ( e ` a ) ) = ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) )
240	239	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) = ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) )
241	240	mpt2eq3dv 6721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) = ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) )
242	241	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) ) )
243	242	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) <-> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
244	237, 243	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( ( c e. N /\ f e. N ) /\ c =/= f ) ) -> ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
245	244	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( c e. N /\ f e. N ) ) -> ( c =/= f -> ( e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) ) )
246	245	impd 447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) /\ ( c e. N /\ f e. N ) ) -> ( ( c =/= f /\ e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
247	246	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) -> ( E. c e. N E. f e. N ( c =/= f /\ e = ( (pmTrsp ` N ) ` { c , f } ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
248	108, 247	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N ) -> ( e e. ran (pmTrsp ` N ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) ) )
249	248	3impia 1261	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d : N --> N /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
250	106, 249	syl3an2 1360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` ( e ` a ) ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
251	105, 250	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
252	251	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) )
253		fveq2 6191	. . . 4 |- ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) )
254	253	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) )
255		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
256	47	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> R e. Ring )
257	58	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
258	257	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) )
259	59, 52	mgpbas 18495	. . . . . . . . 9 |- K = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
260	31, 259	mhmf 17340	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
261	258, 260	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) : ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) --> K )
262	261, 88	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) e. K )
263	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> D : B --> K )
264		simp13 1093	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> F e. B )
265	263, 264	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( D ` F ) e. K )
266	52, 53, 255, 256, 262, 265	ringmneg1 18596	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) )
267	59, 53	mgpplusg 18493	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
268	31, 30, 267	mhmlin 17342	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) e. ( ( SymGrp ` N ) MndHom (mulGrp ` R ) ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) ) )
269	258, 88, 90, 268	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) ) )
270	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> N e. Fin )
271		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e e. ran (pmTrsp ` N ) )
272	34, 31, 38	pmtrodpm 19943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e e. ( ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) \ (pmEven ` N ) ) )
273	270, 271, 272	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> e e. ( ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) \ (pmEven ` N ) ) )
274		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
275		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (pmSgn ` N ) = (pmSgn ` N )
276	274, 275, 54, 31, 255	zrhpsgnodpm 19938	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ e e. ( ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) \ (pmEven ` N ) ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) = ( ( invg ` R ) ` .1. ) )
277	256, 270, 273, 276	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) = ( ( invg ` R ) ` .1. ) )
278	277	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` e ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( invg ` R ) ` .1. ) ) )
279	52, 53, 54, 255, 256, 262	rngnegr 18595	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( ( invg ` R ) ` .1. ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) ) )
280	269, 278, 279	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) ) = ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) )
281	280	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) ) .x. ( D ` F ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
282	266, 281	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
283	282	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
284	252, 254, 283	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) /\ d e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) /\ e e. ran (pmTrsp ` N ) ) /\ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( d ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` d ) .x. ( D ` F ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` ( d ( +g ` ( SymGrp ` N ) ) e ) ) .x. ( D ` F ) ) )
285		simp2 1062	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> E : N -1-1-onto-> N )
286	34, 31	elsymgbas 17802	. . . 4 |- ( N e. Fin -> ( E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) <-> E : N -1-1-onto-> N ) )
287	33, 286	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) <-> E : N -1-1-onto-> N ) )
288	285, 287	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> E e. ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) )
289	7, 14, 21, 28, 29, 30, 31, 37, 40, 45, 87, 284, 288	mrcmndind 17366	1 |- ( ( ph /\ E : N -1-1-onto-> N /\ F e. B ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> ( ( E ` a ) F b ) ) ) = ( ( ( ( ZRHom ` R ) o. (pmSgn ` N ) ) ` E ) .x. ( D ` F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   2oc2o 7554   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100  mrClscmrc 16243   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  SubMndcsubmnd 17334   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861  pmSgncpsgn 17909  pmEvencevpm 17910  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   ZRHomczrh 19848   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-evpm 17912  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mdetunilem8  20425