Theorem prinfzo0 12506

Description: The intersection of a half-open integer range and the pair of its outer left borders is empty. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prinfzo0	|- ( M e. ZZ -> ( { M , N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) )

Proof of Theorem prinfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3 12351	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
2		fznuz 12422	. . . . . 6 |- ( M e. ( M ... M ) -> -. M e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> -. M e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
4	3	3mix1d 1236	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( -. M e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) \/ -. N e. ZZ \/ -. M < N ) )
5		3ianor 1055	. . . . 5 |- ( -. ( M e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ M < N ) <-> ( -. M e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) \/ -. N e. ZZ \/ -. M < N ) )
6		elfzo2 12473	. . . . 5 |- ( M e. ( ( M + 1 )..^ N ) <-> ( M e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ N e. ZZ /\ M < N ) )
7	5, 6	xchnxbir 323	. . . 4 |- ( -. M e. ( ( M + 1 )..^ N ) <-> ( -. M e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) \/ -. N e. ZZ \/ -. M < N ) )
8	4, 7	sylibr 224	. . 3 |- ( M e. ZZ -> -. M e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
9		incom 3805	. . . . 5 |- ( { M } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = ( ( ( M + 1 )..^ N ) i^i { M } )
10	9	eqeq1i 2627	. . . 4 |- ( ( { M } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) <-> ( ( ( M + 1 )..^ N ) i^i { M } ) = (/) )
11		disjsn 4246	. . . 4 |- ( ( ( ( M + 1 )..^ N ) i^i { M } ) = (/) <-> -. M e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
12	10, 11	bitri 264	. . 3 |- ( ( { M } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) <-> -. M e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
13	8, 12	sylibr 224	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( { M } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) )
14		fzonel 12483	. . . 4 |- -. N e. ( ( M + 1 )..^ N )
15	14	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ZZ -> -. N e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
16		incom 3805	. . . . 5 |- ( { N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = ( ( ( M + 1 )..^ N ) i^i { N } )
17	16	eqeq1i 2627	. . . 4 |- ( ( { N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) <-> ( ( ( M + 1 )..^ N ) i^i { N } ) = (/) )
18		disjsn 4246	. . . 4 |- ( ( ( ( M + 1 )..^ N ) i^i { N } ) = (/) <-> -. N e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
19	17, 18	bitri 264	. . 3 |- ( ( { N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) <-> -. N e. ( ( M + 1 )..^ N ) )
20	15, 19	sylibr 224	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( { N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) )
21		df-pr 4180	. . . . 5 |- { M , N } = ( { M } u. { N } )
22	21	ineq1i 3810	. . . 4 |- ( { M , N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = ( ( { M } u. { N } ) i^i ( ( M + 1 )..^ N ) )
23	22	eqeq1i 2627	. . 3 |- ( ( { M , N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) <-> ( ( { M } u. { N } ) i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) )
24		undisj1 4029	. . 3 |- ( ( ( { M } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) /\ ( { N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) ) <-> ( ( { M } u. { N } ) i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) )
25	23, 24	bitr4i 267	. 2 |- ( ( { M , N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) <-> ( ( { M } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) /\ ( { N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) ) )
26	13, 20, 25	sylanbrc 698	1 |- ( M e. ZZ -> ( { M , N } i^i ( ( M + 1 )..^ N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  spthispth  26622