MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem elfzo2 12473
Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo2 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
Proof of Theorem elfzo2
StepHypRef Expression
1 an4 865 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
2 df-3an 1039 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) )
32anbi1i 731 . . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) )
4 eluz2 11693 . . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
5 3ancoma 1045 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M <_ K ) )
6 df-3an 1039 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M <_ K ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) )
74, 5, 63bitri 286 . . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) )
87anbi1i 731 . . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
91, 3, 83bitr4i 292 . 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
10 elfzoelz 12470 . . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K e. ZZ )
11 elfzoel1 12468 . . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
12 elfzoel2 12469 . . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
1310, 11, 123jca 1242 . . 3 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
14 elfzo 12472 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
1513, 14biadan2 674 . 2 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) )
16 3anass 1042 . 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
179, 15, 163bitr4i 292 1 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  elfzouz  12474  fzolb  12476  elfzo3  12486  fzouzsplit  12503  prinfzo0  12506  elfzo0  12508  elfzo1  12517  fzo1fzo0n0  12518  eluzgtdifelfzo  12529  ssfzo12bi  12563  elfzonelfzo  12570  elfzomelpfzo  12572  modaddmodup  12733  ccatrn  13372  cshwidxmod  13549  cats1fv  13604  bitsfzolem  15156  bitsfzo  15157  bitsmod  15158  bitsfi  15159  bitsinv1lem  15163  bitsinv1  15164  modprm0  15510  prmgaplem5  15759  prmgaplem6  15760  prmgaplem7  15761  lt6abl  18296  iundisj2  23317  dchrisum0flblem2  25198  crctcshwlkn0lem5  26706  iundisj2f  29403  iundisj2fi  29556  ssinc  39264  ssdec  39265  elfzfzo  39488  monoords  39511  elfzod  39624  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  fourierdlem20  40344  fourierdlem25  40349  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem50  40373  fourierdlem79  40402  iundjiunlem  40676  subsubelfzo0  41336  fzoopth  41337  iccpartiltu  41358  iccpartigtl  41359  iccpartgt  41363  wtgoldbnnsum4prm  41690  bgoldbnnsum3prm  41692  bgoldbtbndlem3  41695  bgoldbtbndlem4  41696  elfzolborelfzop1  42309  m1modmmod  42316  fllog2  42362  nnolog2flm1  42384
  Copyright terms: Public domain W3C validator