Theorem psrbaglesupp 19368

Description: The support of a dominated bag is smaller than the dominating bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbaglesupp	|- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, G   f, I

Allowed substitution hints:   D( f)   V( f)

Proof of Theorem psrbaglesupp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frnnn0supp 11349	. . 3 |- ( ( I e. V /\ G : I --> NN0 ) -> ( G supp 0 ) = ( `' G " NN ) )
2	1	3ad2antr2 1227	. 2 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( G supp 0 ) = ( `' G " NN ) )
3		simpr2 1068	. . 3 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> G : I --> NN0 )
4		eldifi 3732	. . . . . 6 |- ( x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) -> x e. I )
5		simpr3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> G oR <_ F )
6		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( G : I --> NN0 -> G Fn I )
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> G Fn I )
8		psrbag.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
9	8	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 )
10	9	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> F : I --> NN0 )
11		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( F : I --> NN0 -> F Fn I )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> F Fn I )
13		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> I e. V )
14		inidm 3822	. . . . . . . . 9 |- ( I i^i I ) = I
15		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
16		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
17	7, 12, 13, 13, 14, 15, 16	ofrfval 6905	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( G oR <_ F <-> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
18	5, 17	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
19	18	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
20	4, 19	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) )
21	13, 10	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) )
22		frnnn0supp 11349	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )
23		eqimss 3657	. . . . . . 7 |- ( ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) -> ( F supp 0 ) C_ ( `' F " NN ) )
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( F supp 0 ) C_ ( `' F " NN ) )
25		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> 0 e. _V )
27	10, 24, 13, 26	suppssr 7326	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( F ` x ) = 0 )
28	20, 27	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) <_ 0 )
29		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( G : I --> NN0 /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
30	3, 4, 29	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
31	30	nn0ge0d 11354	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> 0 <_ ( G ` x ) )
32	30	nn0red 11352	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
33		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
34		letri3 10123	. . . . 5 |- ( ( ( G ` x ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( G ` x ) = 0 <-> ( ( G ` x ) <_ 0 /\ 0 <_ ( G ` x ) ) ) )
35	32, 33, 34	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( ( G ` x ) = 0 <-> ( ( G ` x ) <_ 0 /\ 0 <_ ( G ` x ) ) ) )
36	28, 31, 35	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) = 0 )
37	3, 36	suppss 7325	. 2 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( G supp 0 ) C_ ( `' F " NN ) )
38	2, 37	eqsstr3d 3640	1 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) ) -> ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ofr 6898  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  psrbaglecl  19369  psrbagcon  19371