Theorem nn0ge0d 11354

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	|- ( ph -> 0 <_ A )

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0ge0 11318	. 2 |- ( A e. NN0 -> 0 <_ A )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   0cc0 9936   <_ cle 10075   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  flmulnn0  12628  zmodfz  12692  modaddmodlo  12734  modsumfzodifsn  12743  addmodlteq  12745  expmulnbnd  12996  facwordi  13076  faclbnd  13077  faclbnd4lem3  13082  faclbnd6  13086  facavg  13088  hashdom  13168  repswcshw  13558  climcnds  14583  geomulcvg  14607  mertenslem1  14616  eftabs  14806  efcllem  14808  efaddlem  14823  eftlub  14839  oexpneg  15069  divalg2  15128  bitsfzolem  15156  bitsmod  15158  sadcaddlem  15179  sadaddlem  15188  sadasslem  15192  sadeq  15194  smueqlem  15212  dfgcd2  15263  gcdmultiple  15269  gcdmultiplez  15270  dvdssqlem  15279  nn0seqcvgd  15283  mulgcddvds  15369  isprm5  15419  zsqrtelqelz  15466  phibndlem  15475  dfphi2  15479  pythagtriplem3  15523  pythagtriplem10  15525  pythagtriplem6  15526  pythagtriplem7  15527  pythagtriplem12  15531  pythagtriplem14  15533  iserodd  15540  pcge0  15566  pcprmpw2  15586  pcmptdvds  15598  fldivp1  15601  pcbc  15604  qexpz  15605  pockthlem  15609  pockthg  15610  prmreclem3  15622  mul4sqlem  15657  4sqlem12  15660  4sqlem14  15662  4sqlem16  15664  0ram  15724  ram0  15726  ramcl  15733  prmolefac  15750  2expltfac  15799  odmodnn0  17959  pgpfi  18020  ablfac1c  18470  psrbaglesupp  19368  psrbagcon  19371  psrlidm  19403  coe1tmmul2  19646  prmirred  19843  lebnumii  22765  mbfi1fseqlem1  23482  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  itg2cnlem2  23529  fta1g  23927  coemulhi  24010  dgradd2  24024  dgrco  24031  aareccl  24081  aaliou3lem8  24100  radcnvlem1  24167  dvradcnv  24175  leibpilem1  24667  dmlogdmgm  24750  wilthlem1  24794  sgmmul  24926  chtublem  24936  fsumvma2  24939  chpchtsum  24944  perfectlem2  24955  bcmono  25002  bposlem5  25013  lgsval2lem  25032  lgsval4a  25044  lgsqrlem2  25072  gausslemma2dlem0c  25083  gausslemma2dlem0d  25084  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem2  25101  lgsquadlem1  25105  2lgslem1a1  25114  2sqlem3  25145  2sqlem7  25149  2sqlem8  25151  2sqblem  25156  dchrisum0re  25202  pntrlog2bndlem4  25269  pntpbnd1a  25274  ostth2lem2  25323  ostth2lem3  25324  ostth2  25326  crctcshwlkn0lem4  26705  wwlksubclwwlks  26925  nnmulge  29515  nndiffz1  29548  2sqmod  29648  submateqlem1  29873  nexple  30071  oddpwdc  30416  eulerpartlems  30422  eulerpartlemgc  30424  eulerpartlemb  30430  fsum2dsub  30685  breprexplemc  30710  circlemeth  30718  tgoldbachgtde  30738  subfaclim  31170  cvmliftlem2  31268  cvmliftlem10  31276  snmlff  31311  dfgcd3  33170  poimirlem10  33419  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  itg2addnclem2  33462  rrnequiv  33634  irrapxlem2  37387  irrapxlem5  37390  pellexlem1  37393  pellexlem2  37394  pellexlem5  37397  pellexlem6  37398  pell14qrgt0  37423  pell1qrge1  37434  pellfundgt1  37447  rmspecnonsq  37472  rmspecfund  37474  rmspecpos  37481  rmxypos  37514  ltrmxnn0  37516  jm2.24  37530  acongeq  37550  jm2.22  37562  jm2.23  37563  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574  nzprmdif  38518  bccbc  38544  binomcxplemnn0  38548  fsumnncl  39803  mccllem  39829  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnxpaek  40157  dvnmul  40158  dvnprodlem1  40161  stoweidlem24  40241  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  wallispi2lem1  40288  stirlinglem4  40294  stirlinglem5  40295  stirlinglem10  40300  stirlinglem15  40305  stirlingr  40307  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem92  40415  sqwvfoura  40445  elaa2lem  40450  etransclem19  40470  etransclem23  40474  etransclem27  40478  etransclem44  40495  rrndistlt  40510  oexpnegALTV  41588  perfectALTVlem2  41631  blennn  42369  dignn0ldlem  42396  dig2nn1st  42399  digexp  42401  dignn0flhalf  42412