Theorem psrbagsn 19495

Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagsn	|- ( I e. V -> ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) e. D )

Distinct variable groups:   f, I, x   f, K, x

Allowed substitution hints:   D( x, f)   V( x, f)

Proof of Theorem psrbagsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11308	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
2		0nn0 11307	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
3	1, 2	keepel 4155	. . . . . 6 |- if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN0
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. I ) -> if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN0 )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) = ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) )
6	4, 5	fmptd 6385	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 )
7	6	trud 1493	. . 3 |- ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) : I --> NN0
8	5	mptpreima 5628	. . . 4 |- ( `' ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) " NN ) = { x e. I | if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN }
9		snfi 8038	. . . . . 6 |- { K } e. Fin
10		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( { x | x = K } i^i I ) C_ { x | x = K }
11		dfrab2 3903	. . . . . . 7 |- { x e. I | x = K } = ( { x | x = K } i^i I )
12		df-sn 4178	. . . . . . 7 |- { K } = { x | x = K }
13	10, 11, 12	3sstr4i 3644	. . . . . 6 |- { x e. I | x = K } C_ { K }
14		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( { K } e. Fin /\ { x e. I | x = K } C_ { K } ) -> { x e. I | x = K } e. Fin )
15	9, 13, 14	mp2an 708	. . . . 5 |- { x e. I | x = K } e. Fin
16		0nnn 11052	. . . . . . . . 9 |- -. 0 e. NN
17		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x = K -> if ( x = K , 1 , 0 ) = 0 )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = K -> ( if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN <-> 0 e. NN ) )
19	16, 18	mtbiri 317	. . . . . . . 8 |- ( -. x = K -> -. if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN )
20	19	con4i 113	. . . . . . 7 |- ( if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN -> x = K )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( x e. I -> ( if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN -> x = K ) )
22	21	ss2rabi 3684	. . . . 5 |- { x e. I | if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN } C_ { x e. I | x = K }
23		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( { x e. I | x = K } e. Fin /\ { x e. I | if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN } C_ { x e. I | x = K } ) -> { x e. I | if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN } e. Fin )
24	15, 22, 23	mp2an 708	. . . 4 |- { x e. I | if ( x = K , 1 , 0 ) e. NN } e. Fin
25	8, 24	eqeltri 2697	. . 3 |- ( `' ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) " NN ) e. Fin
26	7, 25	pm3.2i 471	. 2 |- ( ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 /\ ( `' ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) " NN ) e. Fin )
27		psrbag0.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
28	27	psrbag 19364	. 2 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) e. D <-> ( ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) : I --> NN0 /\ ( `' ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) " NN ) e. Fin ) ) )
29	26, 28	mpbiri 248	1 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> if ( x = K , 1 , 0 ) ) e. D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   {cab 2608   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  evlslem1  19515