Theorem pwfseq 9486

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into the set of finite sequences. The proof is due to Halbeisen and Shelah. Proposition 1.7 of [KanamoriPincus] p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwfseq	|- ( om ~<_ A -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem pwfseq

Dummy variables f b g h k m p r s t u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7961	. . 3 |- Rel ~<_
2	1	brrelex2i 5159	. 2 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
3		domeng 7969	. . 3 |- ( A e. _V -> ( om ~<_ A <-> E. t ( om ~~ t /\ t C_ A ) ) )
4		bren 7964	. . . . . 6 |- ( om ~~ t <-> E. h h : om -1-1-onto-> t )
5		harcl 8466	. . . . . . . . . 10 |- (har ` ~P A ) e. On
6		infxpenc2 8845	. . . . . . . . . 10 |- ( (har ` ~P A ) e. On -> E. m A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. m A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b )
8		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) /\ g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) )
9		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> ( A ^m n ) = ( A ^m k ) )
10	9	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ n e. om ( A ^m n ) = U_ k e. om ( A ^m k )
11		f1eq3 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U_ n e. om ( A ^m n ) = U_ k e. om ( A ^m k ) -> ( g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) <-> g : ~P A -1-1-> U_ k e. om ( A ^m k ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) <-> g : ~P A -1-1-> U_ k e. om ( A ^m k ) )
13	8, 12	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) /\ g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> g : ~P A -1-1-> U_ k e. om ( A ^m k ) )
14		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) /\ g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> t C_ A )
15		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) /\ g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> h : om -1-1-onto-> t )
16		biid 251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( u C_ A /\ r C_ ( u X. u ) /\ r We u ) /\ om ~<_ u ) <-> ( ( u C_ A /\ r C_ ( u X. u ) /\ r We u ) /\ om ~<_ u ) )
17		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) /\ g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
18		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = w -> ( om C_ b <-> om C_ w ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = w -> ( m ` b ) = ( m ` w ) )
20		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m ` b ) = ( m ` w ) -> ( ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( m ` w ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = w -> ( ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( m ` w ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
22		xpeq12 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b = w /\ b = w ) -> ( b X. b ) = ( w X. w ) )
23	22	anidms 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = w -> ( b X. b ) = ( w X. w ) )
24		f1oeq2 6128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b X. b ) = ( w X. w ) -> ( ( m ` w ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( m ` w ) : ( w X. w ) -1-1-onto-> b ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = w -> ( ( m ` w ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( m ` w ) : ( w X. w ) -1-1-onto-> b ) )
26		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = w -> ( ( m ` w ) : ( w X. w ) -1-1-onto-> b <-> ( m ` w ) : ( w X. w ) -1-1-onto-> w ) )
27	21, 25, 26	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = w -> ( ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b <-> ( m ` w ) : ( w X. w ) -1-1-onto-> w ) )
28	18, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = w -> ( ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) <-> ( om C_ w -> ( m ` w ) : ( w X. w ) -1-1-onto-> w ) ) )
29	28	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) <-> A. w e. (har ` ~P A ) ( om C_ w -> ( m ` w ) : ( w X. w ) -1-1-onto-> w ) )
30	17, 29	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) /\ g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) ) -> A. w e. (har ` ~P A ) ( om C_ w -> ( m ` w ) : ( w X. w ) -1-1-onto-> w ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- OrdIso ( r , u ) = OrdIso ( r , u )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) = ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) = ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- seq𝜔 ( ( p e. _V , f e. _V |-> ( x e. ( u ^m suc p ) |-> ( ( f ` ( x |` p ) ) ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) ( x ` p ) ) ) ) , { <. (/) , (OrdIso ( r , u ) ` (/) ) >. } ) = seq𝜔 ( ( p e. _V , f e. _V |-> ( x e. ( u ^m suc p ) |-> ( ( f ` ( x |` p ) ) ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) ( x ` p ) ) ) ) , { <. (/) , (OrdIso ( r , u ) ` (/) ) >. } )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( u ^m n ) = ( u ^m k ) )
36	35	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ n e. om ( u ^m n ) = U_ k e. om ( u ^m k )
37		mpteq1 4737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U_ n e. om ( u ^m n ) = U_ k e. om ( u ^m k ) -> ( y e. U_ n e. om ( u ^m n ) |-> <. dom y , ( (seq𝜔 ( ( p e. _V , f e. _V |-> ( x e. ( u ^m suc p ) |-> ( ( f ` ( x |` p ) ) ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) ( x ` p ) ) ) ) , { <. (/) , (OrdIso ( r , u ) ` (/) ) >. } ) ` dom y ) ` y ) >. ) = ( y e. U_ k e. om ( u ^m k ) |-> <. dom y , ( (seq𝜔 ( ( p e. _V , f e. _V |-> ( x e. ( u ^m suc p ) |-> ( ( f ` ( x |` p ) ) ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) ( x ` p ) ) ) ) , { <. (/) , (OrdIso ( r , u ) ` (/) ) >. } ) ` dom y ) ` y ) >. ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. U_ n e. om ( u ^m n ) |-> <. dom y , ( (seq𝜔 ( ( p e. _V , f e. _V |-> ( x e. ( u ^m suc p ) |-> ( ( f ` ( x |` p ) ) ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) ( x ` p ) ) ) ) , { <. (/) , (OrdIso ( r , u ) ` (/) ) >. } ) ` dom y ) ` y ) >. ) = ( y e. U_ k e. om ( u ^m k ) |-> <. dom y , ( (seq𝜔 ( ( p e. _V , f e. _V |-> ( x e. ( u ^m suc p ) |-> ( ( f ` ( x |` p ) ) ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) ( x ` p ) ) ) ) , { <. (/) , (OrdIso ( r , u ) ` (/) ) >. } ) ` dom y ) ` y ) >. )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om , y e. u |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` x ) , y >. ) = ( x e. om , y e. u |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` x ) , y >. )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) o. ( x e. om , y e. u |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` x ) , y >. ) ) o. ( y e. U_ n e. om ( u ^m n ) |-> <. dom y , ( (seq𝜔 ( ( p e. _V , f e. _V |-> ( x e. ( u ^m suc p ) |-> ( ( f ` ( x |` p ) ) ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) ( x ` p ) ) ) ) , { <. (/) , (OrdIso ( r , u ) ` (/) ) >. } ) ` dom y ) ` y ) >. ) ) = ( ( ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) o. ( x e. om , y e. u |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` x ) , y >. ) ) o. ( y e. U_ n e. om ( u ^m n ) |-> <. dom y , ( (seq𝜔 ( ( p e. _V , f e. _V |-> ( x e. ( u ^m suc p ) |-> ( ( f ` ( x |` p ) ) ( (OrdIso ( r , u ) o. ( m ` dom OrdIso ( r , u ) ) ) o. `' ( s e. dom OrdIso ( r , u ) , z e. dom OrdIso ( r , u ) |-> <. (OrdIso ( r , u ) ` s ) , (OrdIso ( r , u ) ` z ) >. ) ) ( x ` p ) ) ) ) , { <. (/) , (OrdIso ( r , u ) ` (/) ) >. } ) ` dom y ) ` y ) >. ) )
41	13, 14, 15, 16, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 39, 40	pwfseqlem5 9485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) /\ g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) )
42	41	imnani 439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) -> -. g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) )
43	42	nexdv 1864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) -> -. E. g g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) )
44		brdomi 7966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) -> E. g g : ~P A -1-1-> U_ n e. om ( A ^m n ) )
45	43, 44	nsyl 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) /\ A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )
46	45	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) -> ( A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
47	46	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) -> ( E. m A. b e. (har ` ~P A ) ( om C_ b -> ( m ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
48	7, 47	mpi 20	. . . . . . . 8 |- ( ( h : om -1-1-onto-> t /\ t C_ A ) -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )
49	48	ex 450	. . . . . . 7 |- ( h : om -1-1-onto-> t -> ( t C_ A -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
50	49	exlimiv 1858	. . . . . 6 |- ( E. h h : om -1-1-onto-> t -> ( t C_ A -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
51	4, 50	sylbi 207	. . . . 5 |- ( om ~~ t -> ( t C_ A -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
52	51	imp 445	. . . 4 |- ( ( om ~~ t /\ t C_ A ) -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )
53	52	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. t ( om ~~ t /\ t C_ A ) -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )
54	3, 53	syl6bi 243	. 2 |- ( A e. _V -> ( om ~<_ A -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) ) )
55	2, 54	mpcom 38	1 |- ( om ~<_ A -> -. ~P A ~<_ U_ n e. om ( A ^m n ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065  seq_𝜔cseqom 7542   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953  OrdIsocoi 8414  harchar 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-har 8463  df-cnf 8559  df-card 8765

This theorem is referenced by:  pwxpndom2  9487