Theorem infxpenc2 8845

Description: Existence form of infxpenc 8841. A "uniform" or "canonical" version of infxpen 8837, asserting the existence of a single function g that simultaneously demonstrates product idempotence of all ordinals below a given bound. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infxpenc2	|- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )

Distinct variable group:   g, b, A

Proof of Theorem infxpenc2

Dummy variables f n w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom3c 8603	. 2 |- ( A e. On -> E. n A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) )
2		df-2o 7561	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
3	2	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( om ^o 2o ) = ( om ^o suc 1o )
4		omelon 8543	. . . . . . . 8 |- om e. On
5		1on 7567	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
6		oesuc 7607	. . . . . . . 8 |- ( ( om e. On /\ 1o e. On ) -> ( om ^o suc 1o ) = ( ( om ^o 1o ) .o om ) )
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( om ^o suc 1o ) = ( ( om ^o 1o ) .o om )
8		oe1 7624	. . . . . . . . 9 |- ( om e. On -> ( om ^o 1o ) = om )
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( om ^o 1o ) = om
10	9	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( om ^o 1o ) .o om ) = ( om .o om )
11	3, 7, 10	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- ( om ^o 2o ) = ( om .o om )
12		omxpen 8062	. . . . . . 7 |- ( ( om e. On /\ om e. On ) -> ( om .o om ) ~~ ( om X. om ) )
13	4, 4, 12	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( om .o om ) ~~ ( om X. om )
14	11, 13	eqbrtri 4674	. . . . 5 |- ( om ^o 2o ) ~~ ( om X. om )
15		xpomen 8838	. . . . 5 |- ( om X. om ) ~~ om
16	14, 15	entri 8010	. . . 4 |- ( om ^o 2o ) ~~ om
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( A e. On -> ( om ^o 2o ) ~~ om )
18		bren 7964	. . 3 |- ( ( om ^o 2o ) ~~ om <-> E. f f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
19	17, 18	sylib 208	. 2 |- ( A e. On -> E. f f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
20		eeanv 2182	. . 3 |- ( E. n E. f ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) <-> ( E. n A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ E. f f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) )
21		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) ) -> A e. On )
22		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) ) -> A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) )
23		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( x = b -> ( om C_ x <-> om C_ b ) )
24		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( om ^o y ) = ( om ^o w ) )
25		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( om ^o y ) = ( om ^o w ) -> ( ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) <-> ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) <-> ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
27	26	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) <-> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( n ` x ) = ( n ` b ) )
29		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n ` x ) = ( n ` b ) -> ( ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( n ` b ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( n ` b ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
31		f1oeq2 6128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( n ` b ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
32	30, 31	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
33	32	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( x = b -> ( E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
34	27, 33	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( x = b -> ( E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) <-> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
35	23, 34	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = b -> ( ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) <-> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
36	35	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
37	22, 36	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) ) -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( n ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( b = z -> ( om ^o b ) = ( om ^o z ) )
39	38	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o b ) ) = ( z e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o z ) )
40	39	cnveqi 5297	. . . . . . 7 |- `' ( b e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o b ) ) = `' ( z e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o z ) )
41	40	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( `' ( b e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o b ) ) ` ran ( n ` b ) ) = ( `' ( z e. ( On \ 1o ) |-> ( om ^o z ) ) ` ran ( n ` b ) )
42		2on 7568	. . . . . . . . . 10 |- 2o e. On
43		peano1 7085	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. om
44		oen0 7666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. On /\ 2o e. On ) /\ (/) e. om ) -> (/) e. ( om ^o 2o ) )
45	43, 44	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. On /\ 2o e. On ) -> (/) e. ( om ^o 2o ) )
46	4, 42, 45	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ( om ^o 2o )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) = ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) )
48	47	fveqf1o 6557	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om /\ (/) e. ( om ^o 2o ) /\ (/) e. om ) -> ( ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om /\ ( ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) ` (/) ) = (/) ) )
49	46, 43, 48	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om -> ( ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om /\ ( ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) ` (/) ) = (/) ) )
50	49	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) ) -> ( ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om /\ ( ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) ` (/) ) = (/) ) )
51	50	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) ) -> ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om )
52	50	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) ) -> ( ( f o. ( ( _I |` ( ( om ^o 2o ) \ { (/) , ( `' f ` (/) ) } ) ) u. { <. (/) , ( `' f ` (/) ) >. , <. ( `' f ` (/) ) , (/) >. } ) ) ` (/) ) = (/) )
53	21, 37, 41, 51, 52	infxpenc2lem3 8844	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )
54	53	ex 450	. . . 4 |- ( A e. On -> ( ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
55	54	exlimdvv 1862	. . 3 |- ( A e. On -> ( E. n E. f ( A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
56	20, 55	syl5bir 233	. 2 |- ( A e. On -> ( ( E. n A. x e. A ( om C_ x -> E. y e. ( On \ 1o ) ( n ` x ) : x -1-1-onto-> ( om ^o y ) ) /\ E. f f : ( om ^o 2o ) -1-1-onto-> om ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) ) )
57	1, 19, 56	mp2and 715	1 |- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> ( g ` b ) : ( b X. b ) -1-1-onto-> b ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   .o comu 7558   ^o coe 7559   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559  df-card 8765

This theorem is referenced by:  pwfseq  9486