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Theorem ramcl2 15720
Description: The Ramsey number is either a nonnegative integer or plus infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
ramcl2 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( M Ramsey F ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
Proof of Theorem ramcl2
Dummy variables f c n s x a b i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . 5 |- ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
2 eqid 2622 . . . . 5 |- { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } = { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lem 15713 . . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( M Ramsey F ) = if ( { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } = (/) , +oo , inf ( { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } , RR , < ) ) )
4 iftrue 4092 . . . 4 |- ( { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } = (/) -> if ( { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } = (/) , +oo , inf ( { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } , RR , < ) ) = +oo )
53, 4sylan9eq 2676 . . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } = (/) ) -> ( M Ramsey F ) = +oo )
6 ssun2 3777 . . . 4 |- { +oo } C_ ( NN0 u. { +oo } )
7 pnfex 10093 . . . . 5 |- +oo e. _V
87snss 4316 . . . 4 |- ( +oo e. ( NN0 u. { +oo } ) <-> { +oo } C_ ( NN0 u. { +oo } ) )
96, 8mpbir 221 . . 3 |- +oo e. ( NN0 u. { +oo } )
105, 9syl6eqel 2709 . 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } = (/) ) -> ( M Ramsey F ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
11 ssun1 3776 . . 3 |- NN0 C_ ( NN0 u. { +oo } )
121, 2ramtcl2 15715 . . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( ( M Ramsey F ) e. NN0 <-> { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } =/= (/) ) )
1312biimpar 502 . . 3 |- ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } =/= (/) ) -> ( M Ramsey F ) e. NN0 )
1411, 13sseldi 3601 . 2 |- ( ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) /\ { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } =/= (/) ) -> ( M Ramsey F ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
1510, 14pm2.61dane 2881 1 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( M Ramsey F ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857  infcinf 8347   RRcr 9935   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   #chash 13117   Ramsey cram 15703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ram 15705
This theorem is referenced by:  ramxrcl  15721  ramubcl  15722
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