Theorem rami 15719

Description: The defining property of a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rami.c	|- C = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
rami.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
rami.r	|- ( ph -> R e. V )
rami.f	|- ( ph -> F : R --> NN0 )
rami.x	|- ( ph -> ( M Ramsey F ) e. NN0 )
rami.s	|- ( ph -> S e. W )
rami.l	|- ( ph -> ( M Ramsey F ) <_ ( # ` S ) )
rami.g	|- ( ph -> G : ( S C M ) --> R )

Assertion

Ref	Expression
rami	|- ( ph -> E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' G " { c } ) ) )

Distinct variable groups:   x, c, C   G, c, x   ph, c, x   S, c, x   F, c, x   a, b, c, i, x, M   R, c, x   V, c, x

Allowed substitution hints:   ph( i, a, b)   C( i, a, b)   R( i, a, b)   S( i, a, b)   F( i, a, b)   G( i, a, b)   V( i, a, b)   W( x, i, a, b, c)

Proof of Theorem rami

Dummy variables f n s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rami.g	. . 3 |- ( ph -> G : ( S C M ) --> R )
2		rami.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. V )
3		ovex 6678	. . . 4 |- ( S C M ) e. _V
4		elmapg 7870	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( S C M ) e. _V ) -> ( G e. ( R ^m ( S C M ) ) <-> G : ( S C M ) --> R ) )
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( G e. ( R ^m ( S C M ) ) <-> G : ( S C M ) --> R ) )
6	1, 5	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> G e. ( R ^m ( S C M ) ) )
7		rami.s	. . 3 |- ( ph -> S e. W )
8		rami.x	. . . . 5 |- ( ph -> ( M Ramsey F ) e. NN0 )
9		rami.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
10		rami.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : R --> NN0 )
11		rami.c	. . . . . . . 8 |- C = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } = { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) }
13	11, 12	ramtcl2 15715	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( ( M Ramsey F ) e. NN0 <-> { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } =/= (/) ) )
14	11, 12	ramtcl 15714	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( ( M Ramsey F ) e. { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } <-> { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } =/= (/) ) )
15	13, 14	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ R e. V /\ F : R --> NN0 ) -> ( ( M Ramsey F ) e. NN0 <-> ( M Ramsey F ) e. { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
16	9, 2, 10, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M Ramsey F ) e. NN0 <-> ( M Ramsey F ) e. { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
17	8, 16	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( M Ramsey F ) e. { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } )
18		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( n = ( M Ramsey F ) -> ( n <_ ( # ` s ) <-> ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) ) )
19	18	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( n = ( M Ramsey F ) -> ( ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) <-> ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) ) )
20	19	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( n = ( M Ramsey F ) -> ( A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) <-> A. s ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) ) )
21	20	elrab 3363	. . . . 5 |- ( ( M Ramsey F ) e. { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } <-> ( ( M Ramsey F ) e. NN0 /\ A. s ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) ) )
22	21	simprbi 480	. . . 4 |- ( ( M Ramsey F ) e. { n e. NN0 | A. s ( n <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) } -> A. s ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
23	17, 22	syl 17	. . 3 |- ( ph -> A. s ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
24		rami.l	. . 3 |- ( ph -> ( M Ramsey F ) <_ ( # ` S ) )
25		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( # ` s ) = ( # ` S ) )
26	25	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) <-> ( M Ramsey F ) <_ ( # ` S ) ) )
27		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( s C M ) = ( S C M ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( R ^m ( s C M ) ) = ( R ^m ( S C M ) ) )
29		pweq 4161	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ~P s = ~P S )
30	29	rexeqdv 3145	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) <-> E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
31	30	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) <-> E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
32	28, 31	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( s = S -> ( A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) <-> A. f e. ( R ^m ( S C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
33	26, 32	imbi12d 334	. . . 4 |- ( s = S -> ( ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) <-> ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` S ) -> A. f e. ( R ^m ( S C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) ) )
34	33	spcgv 3293	. . 3 |- ( S e. W -> ( A. s ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` s ) -> A. f e. ( R ^m ( s C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P s ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) -> ( ( M Ramsey F ) <_ ( # ` S ) -> A. f e. ( R ^m ( S C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) ) )
35	7, 23, 24, 34	syl3c 66	. 2 |- ( ph -> A. f e. ( R ^m ( S C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) )
36		cnveq 5296	. . . . . . 7 |- ( f = G -> `' f = `' G )
37	36	imaeq1d 5465	. . . . . 6 |- ( f = G -> ( `' f " { c } ) = ( `' G " { c } ) )
38	37	sseq2d 3633	. . . . 5 |- ( f = G -> ( ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) <-> ( x C M ) C_ ( `' G " { c } ) ) )
39	38	anbi2d 740	. . . 4 |- ( f = G -> ( ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) <-> ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) )
40	39	2rexbidv 3057	. . 3 |- ( f = G -> ( E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) <-> E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) )
41	40	rspcv 3305	. 2 |- ( G e. ( R ^m ( S C M ) ) -> ( A. f e. ( R ^m ( S C M ) ) E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' f " { c } ) ) -> E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' G " { c } ) ) ) )
42	6, 35, 41	sylc 65	1 |- ( ph -> E. c e. R E. x e. ~P S ( ( F ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x C M ) C_ ( `' G " { c } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   #chash 13117   Ramsey cram 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ram 15705

This theorem is referenced by:  ramlb  15723  ramub1lem2  15731