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Theorem rankunb 8713
Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
Proof of Theorem rankunb
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unwf 8673 . . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) <-> ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 8689 . . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } )
31, 2sylbi 207 . . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } )
43eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> x e. |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } ) )
5 vex 3203 . . . . . 6 |- x e. _V
65elintrab 4488 . . . . 5 |- ( x e. |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } <-> A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) )
74, 6syl6bb 276 . . . 4 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) ) )
8 elun 3753 . . . . . . 7 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
9 rankelb 8687 . . . . . . . . 9 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) ) )
10 elun1 3780 . . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
119, 10syl6 35 . . . . . . . 8 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
12 rankelb 8687 . . . . . . . . 9 |- ( B e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. B -> ( rank ` x ) e. ( rank ` B ) ) )
13 elun2 3781 . . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. ( rank ` B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
1412, 13syl6 35 . . . . . . . 8 |- ( B e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. B -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
1511, 14jaao 531 . . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
168, 15syl5bi 232 . . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( A u. B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
1716ralrimiv 2965 . . . . 5 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
18 rankon 8658 . . . . . . 7 |- ( rank ` A ) e. On
19 rankon 8658 . . . . . . 7 |- ( rank ` B ) e. On
2018, 19onun2i 5843 . . . . . 6 |- ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) e. On
21 eleq2 2690 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( ( rank ` x ) e. y <-> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
2221ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y <-> A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
23 eleq2 2690 . . . . . . . 8 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( x e. y <-> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
2422, 23imbi12d 334 . . . . . . 7 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) <-> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) ) )
2524rspcv 3305 . . . . . 6 |- ( ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) e. On -> ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) ) )
2620, 25ax-mp 5 . . . . 5 |- ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
2717, 26syl5com 31 . . . 4 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
287, 27sylbid 230 . . 3 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
2928ssrdv 3609 . 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) C_ ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
30 ssun1 3776 . . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
31 rankssb 8711 . . . . 5 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( A C_ ( A u. B ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
3230, 31mpi 20 . . . 4 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
33 ssun2 3777 . . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
34 rankssb 8711 . . . . 5 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( B C_ ( A u. B ) -> ( rank ` B ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
3533, 34mpi 20 . . . 4 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` B ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
3632, 35unssd 3789 . . 3 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
371, 36sylbi 207 . 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
3829, 37eqssd 3620 1 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |^|cint 4475   "cima 5117   Oncon0 5723   ` cfv 5888   R1cr1 8625   rankcrnk 8626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628
This theorem is referenced by:  rankprb  8714  rankopb  8715  rankun  8719  rankaltopb  32086
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