Theorem tcrank 8747

Description: This theorem expresses two different facts from the two subset implications in this equality. In the forward direction, it says that the transitive closure has members of every rank below A. Stated another way, to construct a set at a given rank, you have to climb the entire hierarchy of ordinals below ( rank ` A ), constructing at least one set at each level in order to move up the ranks. In the reverse direction, it says that every member of ( TC ` A ) has a rank below the rank of A, since intuitively it contains only the members of A and the members of those and so on, but nothing "bigger" than A. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tcrank	|- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) = ( rank " ( TC ` A ) ) )

Proof of Theorem tcrank

Dummy variables x y z w u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankwflemb 8656	. . 3 |- ( A e. U. ( R1 " On ) <-> E. y e. On A e. ( R1 ` suc y ) )
2		suceloni 7013	. . . . 5 |- ( y e. On -> suc y e. On )
3		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` y ) )
4	3	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A. z e. ( R1 ` x ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) <-> A. z e. ( R1 ` y ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) ) )
5		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = u -> ( rank ` z ) = ( rank ` u ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( TC ` z ) = ( TC ` u ) )
7	6	imaeq2d 5466	. . . . . . . . 9 |- ( z = u -> ( rank " ( TC ` z ) ) = ( rank " ( TC ` u ) ) )
8	5, 7	sseq12d 3634	. . . . . . . 8 |- ( z = u -> ( ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) <-> ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
9	8	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. z e. ( R1 ` y ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) <-> A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) )
10	4, 9	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A. z e. ( R1 ` x ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) <-> A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc y ) )
12	11	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A. z e. ( R1 ` x ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) <-> A. z e. ( R1 ` suc y ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) ) )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) ) -> ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) )
14		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) ) -> z e. ( R1 ` x ) )
15		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) ) -> A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) )
16		rankr1ai 8661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( R1 ` x ) -> ( rank ` z ) e. x )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( rank ` z ) -> ( R1 ` y ) = ( R1 ` ( rank ` z ) ) )
18	17	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( rank ` z ) -> ( A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) <-> A. u e. ( R1 ` ( rank ` z ) ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
19	18	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( rank ` z ) e. x -> ( A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) -> A. u e. ( R1 ` ( rank ` z ) ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( R1 ` x ) -> ( A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) -> A. u e. ( R1 ` ( rank ` z ) ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
21		r1elwf 8659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( R1 ` x ) -> z e. U. ( R1 " On ) )
22		r1rankidb 8667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. U. ( R1 " On ) -> z C_ ( R1 ` ( rank ` z ) ) )
23		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ ( R1 ` ( rank ` z ) ) -> ( A. u e. ( R1 ` ( rank ` z ) ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) -> A. u e. z ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( R1 ` x ) -> ( A. u e. ( R1 ` ( rank ` z ) ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) -> A. u e. z ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
25	20, 24	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( R1 ` x ) -> ( A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) -> A. u e. z ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
26	14, 15, 25	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) ) -> A. u e. z ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) )
27		rankval3b 8689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` z ) = |^| { x e. On | A. u e. z ( rank ` u ) e. x } )
28	27	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. U. ( R1 " On ) -> ( w e. ( rank ` z ) <-> w e. |^| { x e. On | A. u e. z ( rank ` u ) e. x } ) )
29	28	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. U. ( R1 " On ) -> ( w e. ( rank ` z ) -> w e. |^| { x e. On | A. u e. z ( rank ` u ) e. x } ) )
30		rankon 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( rank ` z ) e. On
31	30	oneli 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( rank ` z ) -> w e. On )
32		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = w -> ( ( rank ` u ) e. x <-> ( rank ` u ) e. w ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = w -> ( A. u e. z ( rank ` u ) e. x <-> A. u e. z ( rank ` u ) e. w ) )
34	33	onnminsb 7004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. On -> ( w e. |^| { x e. On | A. u e. z ( rank ` u ) e. x } -> -. A. u e. z ( rank ` u ) e. w ) )
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( rank ` z ) -> ( w e. |^| { x e. On | A. u e. z ( rank ` u ) e. x } -> -. A. u e. z ( rank ` u ) e. w ) )
36	29, 35	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. U. ( R1 " On ) -> ( w e. ( rank ` z ) -> -. A. u e. z ( rank ` u ) e. w ) )
37	21, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( R1 ` x ) -> ( w e. ( rank ` z ) -> -. A. u e. z ( rank ` u ) e. w ) )
38	37	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) -> -. A. u e. z ( rank ` u ) e. w )
39		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. u e. z -. ( rank ` u ) e. w <-> -. A. u e. z ( rank ` u ) e. w )
40	38, 39	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) -> E. u e. z -. ( rank ` u ) e. w )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) ) -> E. u e. z -. ( rank ` u ) e. w )
42		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. u e. z ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ E. u e. z -. ( rank ` u ) e. w ) -> E. u e. z ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) )
43	26, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) ) -> E. u e. z ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) )
44		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> u e. z )
45		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
46		tcid 8615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. _V -> z C_ ( TC ` z ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z C_ ( TC ` z )
48	47	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. z -> u e. ( TC ` z ) )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = u -> ( rank ` x ) = ( rank ` u ) )
50	49	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = u -> ( ( rank ` x ) = w <-> ( rank ` u ) = w ) )
51	50	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ( TC ` z ) /\ ( rank ` u ) = w ) -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( TC ` z ) -> ( ( rank ` u ) = w -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
53	44, 48, 52	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> ( ( rank ` u ) = w -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
54		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) )
55	54	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> ( w e. ( rank ` u ) -> w e. ( rank " ( TC ` u ) ) ) )
56		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> z e. ( R1 ` x ) )
57		rankf 8657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- rank : U. ( R1 " On ) --> On
58		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> rank Fn U. ( R1 " On ) )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- rank Fn U. ( R1 " On )
60		r1tr 8639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- Tr ( R1 ` x )
61		trel 4759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr ( R1 ` x ) -> ( ( u e. z /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> u e. ( R1 ` x ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. z /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> u e. ( R1 ` x ) )
63		r1elwf 8659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. ( R1 ` x ) -> u e. U. ( R1 " On ) )
64		tcwf 8746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. U. ( R1 " On ) -> ( TC ` u ) e. U. ( R1 " On ) )
65		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( TC ` u ) e. _V
66	65	r1elss 8669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( TC ` u ) e. U. ( R1 " On ) <-> ( TC ` u ) C_ U. ( R1 " On ) )
67	64, 66	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. U. ( R1 " On ) -> ( TC ` u ) C_ U. ( R1 " On ) )
68	62, 63, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. z /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> ( TC ` u ) C_ U. ( R1 " On ) )
69		fvelimab 6253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( rank Fn U. ( R1 " On ) /\ ( TC ` u ) C_ U. ( R1 " On ) ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` u ) ) <-> E. x e. ( TC ` u ) ( rank ` x ) = w ) )
70	59, 68, 69	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. z /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` u ) ) <-> E. x e. ( TC ` u ) ( rank ` x ) = w ) )
71	45	tcel 8621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. z -> ( TC ` u ) C_ ( TC ` z ) )
72		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( TC ` u ) C_ ( TC ` z ) -> ( E. x e. ( TC ` u ) ( rank ` x ) = w -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. z -> ( E. x e. ( TC ` u ) ( rank ` x ) = w -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. z /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> ( E. x e. ( TC ` u ) ( rank ` x ) = w -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
75	70, 74	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. z /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` u ) ) -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
76	44, 56, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` u ) ) -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
77	55, 76	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> ( w e. ( rank ` u ) -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
78		rankon 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( rank ` u ) e. On
79		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( rank ` u ) e. On -> Ord ( rank ` u ) )
80		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. On -> Ord w )
81		ordtri3or 5755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Ord ( rank ` u ) /\ Ord w ) -> ( ( rank ` u ) e. w \/ ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) )
82	79, 80, 81	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( rank ` u ) e. On /\ w e. On ) -> ( ( rank ` u ) e. w \/ ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) )
83	78, 31, 82	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( rank ` z ) -> ( ( rank ` u ) e. w \/ ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) )
84		3orass 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( rank ` u ) e. w \/ ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) <-> ( ( rank ` u ) e. w \/ ( ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) ) )
85	83, 84	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. ( rank ` z ) -> ( ( rank ` u ) e. w \/ ( ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) ) )
86	85	orcanai 952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( rank ` z ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) -> ( ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) )
87	86	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> ( ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) )
88	87	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> ( ( rank ` u ) = w \/ w e. ( rank ` u ) ) )
89	53, 77, 88	mpjaod 396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) /\ u e. z /\ ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) ) -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w )
90	89	rexlimdv3a 3033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) -> ( E. u e. z ( ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) /\ -. ( rank ` u ) e. w ) -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
91	13, 43, 90	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ ( z e. ( R1 ` x ) /\ w e. ( rank ` z ) ) ) -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w )
92	91	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> ( w e. ( rank ` z ) -> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
93		tcwf 8746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. U. ( R1 " On ) -> ( TC ` z ) e. U. ( R1 " On ) )
94		r1elssi 8668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TC ` z ) e. U. ( R1 " On ) -> ( TC ` z ) C_ U. ( R1 " On ) )
95		fvelimab 6253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( rank Fn U. ( R1 " On ) /\ ( TC ` z ) C_ U. ( R1 " On ) ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` z ) ) <-> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
96	94, 95	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( rank Fn U. ( R1 " On ) /\ ( TC ` z ) e. U. ( R1 " On ) ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` z ) ) <-> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
97	59, 93, 96	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U. ( R1 " On ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` z ) ) <-> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
98	21, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( R1 ` x ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` z ) ) <-> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> ( w e. ( rank " ( TC ` z ) ) <-> E. x e. ( TC ` z ) ( rank ` x ) = w ) )
100	92, 99	sylibrd 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> ( w e. ( rank ` z ) -> w e. ( rank " ( TC ` z ) ) ) )
101	100	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) /\ z e. ( R1 ` x ) ) -> ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) )
102	101	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) ) -> A. z e. ( R1 ` x ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) )
103	102	ex 450	. . . . . 6 |- ( x e. On -> ( A. y e. x A. u e. ( R1 ` y ) ( rank ` u ) C_ ( rank " ( TC ` u ) ) -> A. z e. ( R1 ` x ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) ) )
104	10, 12, 103	tfis3 7057	. . . . 5 |- ( suc y e. On -> A. z e. ( R1 ` suc y ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) )
105		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( rank ` z ) = ( rank ` A ) )
106		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( TC ` z ) = ( TC ` A ) )
107	106	imaeq2d 5466	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( rank " ( TC ` z ) ) = ( rank " ( TC ` A ) ) )
108	105, 107	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) <-> ( rank ` A ) C_ ( rank " ( TC ` A ) ) ) )
109	108	rspccv 3306	. . . . 5 |- ( A. z e. ( R1 ` suc y ) ( rank ` z ) C_ ( rank " ( TC ` z ) ) -> ( A e. ( R1 ` suc y ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank " ( TC ` A ) ) ) )
110	2, 104, 109	3syl 18	. . . 4 |- ( y e. On -> ( A e. ( R1 ` suc y ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank " ( TC ` A ) ) ) )
111	110	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. y e. On A e. ( R1 ` suc y ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank " ( TC ` A ) ) )
112	1, 111	sylbi 207	. 2 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank " ( TC ` A ) ) )
113		tcvalg 8614	. . . 4 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( TC ` A ) = |^| { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } )
114		r1rankidb 8667	. . . . 5 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> A C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) )
115		r1tr 8639	. . . . 5 |- Tr ( R1 ` ( rank ` A ) )
116		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( R1 ` ( rank ` A ) ) e. _V
117		sseq2 3627	. . . . . . . 8 |- ( x = ( R1 ` ( rank ` A ) ) -> ( A C_ x <-> A C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) )
118		treq 4758	. . . . . . . 8 |- ( x = ( R1 ` ( rank ` A ) ) -> ( Tr x <-> Tr ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) )
119	117, 118	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = ( R1 ` ( rank ` A ) ) -> ( ( A C_ x /\ Tr x ) <-> ( A C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) /\ Tr ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) ) )
120	116, 119	elab 3350	. . . . . 6 |- ( ( R1 ` ( rank ` A ) ) e. { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } <-> ( A C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) /\ Tr ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) )
121		intss1 4492	. . . . . 6 |- ( ( R1 ` ( rank ` A ) ) e. { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } -> |^| { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) )
122	120, 121	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) /\ Tr ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) -> |^| { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) )
123	114, 115, 122	sylancl 694	. . . 4 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> |^| { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) )
124	113, 123	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( TC ` A ) C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) )
125		imass2 5501	. . . 4 |- ( ( TC ` A ) C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) -> ( rank " ( TC ` A ) ) C_ ( rank " ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) )
126		ffun 6048	. . . . . . . 8 |- ( rank : U. ( R1 " On ) --> On -> Fun rank )
127	57, 126	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Fun rank
128		fvelima 6248	. . . . . . 7 |- ( ( Fun rank /\ x e. ( rank " ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) ) -> E. y e. ( R1 ` ( rank ` A ) ) ( rank ` y ) = x )
129	127, 128	mpan 706	. . . . . 6 |- ( x e. ( rank " ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) -> E. y e. ( R1 ` ( rank ` A ) ) ( rank ` y ) = x )
130		rankr1ai 8661	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( R1 ` ( rank ` A ) ) -> ( rank ` y ) e. ( rank ` A ) )
131		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( ( rank ` y ) = x -> ( ( rank ` y ) e. ( rank ` A ) <-> x e. ( rank ` A ) ) )
132	130, 131	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( y e. ( R1 ` ( rank ` A ) ) -> ( ( rank ` y ) = x -> x e. ( rank ` A ) ) )
133	132	rexlimiv 3027	. . . . . 6 |- ( E. y e. ( R1 ` ( rank ` A ) ) ( rank ` y ) = x -> x e. ( rank ` A ) )
134	129, 133	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. ( rank " ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) -> x e. ( rank ` A ) )
135	134	ssriv 3607	. . . 4 |- ( rank " ( R1 ` ( rank ` A ) ) ) C_ ( rank ` A )
136	125, 135	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ( TC ` A ) C_ ( R1 ` ( rank ` A ) ) -> ( rank " ( TC ` A ) ) C_ ( rank ` A ) )
137	124, 136	syl 17	. 2 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank " ( TC ` A ) ) C_ ( rank ` A ) )
138	112, 137	eqssd 3620	1 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) = ( rank " ( TC ` A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |^|cint 4475   Tr wtr 4752   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   TCctc 8612   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-tc 8613  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  9252  grur1  9642