Theorem recgt0ii 10929

Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	|- A e. RR
recgt0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
recgt0ii	|- 0 < ( 1 / A )

Proof of Theorem recgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9994	. . . . 5 |- 1 e. CC
2		ltplus1.1	. . . . . 6 |- A e. RR
3	2	recni 10052	. . . . 5 |- A e. CC
4		ax-1ne0 10005	. . . . 5 |- 1 =/= 0
5		recgt0i.2	. . . . . 6 |- 0 < A
6	2, 5	gt0ne0ii 10564	. . . . 5 |- A =/= 0
7	1, 3, 4, 6	divne0i 10773	. . . 4 |- ( 1 / A ) =/= 0
8	7	nesymi 2851	. . 3 |- -. 0 = ( 1 / A )
9		0lt1 10550	. . . . 5 |- 0 < 1
10		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
11		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
12	10, 11	ltnsymi 10156	. . . . 5 |- ( 0 < 1 -> -. 1 < 0 )
13	9, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- -. 1 < 0
14	2, 6	rereccli 10790	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / A ) e. RR
15	14	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u ( 1 / A ) e. RR
16	15, 2	mulgt0i 10169	. . . . . . 7 |- ( ( 0 < -u ( 1 / A ) /\ 0 < A ) -> 0 < ( -u ( 1 / A ) x. A ) )
17	5, 16	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( 0 < -u ( 1 / A ) -> 0 < ( -u ( 1 / A ) x. A ) )
18	14	recni 10052	. . . . . . . 8 |- ( 1 / A ) e. CC
19	18, 3	mulneg1i 10476	. . . . . . 7 |- ( -u ( 1 / A ) x. A ) = -u ( ( 1 / A ) x. A )
20	3, 6	recidi 10756	. . . . . . . . 9 |- ( A x. ( 1 / A ) ) = 1
21	3, 18, 20	mulcomli 10047	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / A ) x. A ) = 1
22	21	negeqi 10274	. . . . . . 7 |- -u ( ( 1 / A ) x. A ) = -u 1
23	19, 22	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( -u ( 1 / A ) x. A ) = -u 1
24	17, 23	syl6breq 4694	. . . . 5 |- ( 0 < -u ( 1 / A ) -> 0 < -u 1 )
25		lt0neg1 10534	. . . . . 6 |- ( ( 1 / A ) e. RR -> ( ( 1 / A ) < 0 <-> 0 < -u ( 1 / A ) ) )
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 1 / A ) < 0 <-> 0 < -u ( 1 / A ) )
27		lt0neg1 10534	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR -> ( 1 < 0 <-> 0 < -u 1 ) )
28	11, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1 < 0 <-> 0 < -u 1 )
29	24, 26, 28	3imtr4i 281	. . . 4 |- ( ( 1 / A ) < 0 -> 1 < 0 )
30	13, 29	mto 188	. . 3 |- -. ( 1 / A ) < 0
31	8, 30	pm3.2ni 899	. 2 |- -. ( 0 = ( 1 / A ) \/ ( 1 / A ) < 0 )
32		axlttri 10109	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / A ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / A ) <-> -. ( 0 = ( 1 / A ) \/ ( 1 / A ) < 0 ) ) )
33	10, 14, 32	mp2an 708	. 2 |- ( 0 < ( 1 / A ) <-> -. ( 0 = ( 1 / A ) \/ ( 1 / A ) < 0 ) )
34	31, 33	mpbir 221	1 |- 0 < ( 1 / A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   -ucneg 10267   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  halfgt0  11248  0.999...  14612  0.999...OLD  14613  sincos2sgn  14924  rpnnen2lem3  14945  rpnnen2lem4  14946  rpnnen2lem9  14951  pcoass  22824  log2tlbnd  24672  stoweidlem34  40251  stoweidlem59  40276