Theorem stoweidlem59 40276

Description: This lemma proves that there exists a function x as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 91, after Lemma 2: x_j is in the subalgebra, 0 <= x_j <= 1, x_j < ε / n on A_j (meaning A in the paper), x_j > 1 - \epslon / n on B_j. Here D is used to represent A in the paper (because A is used for the subalgebra of functions), E is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem59.1	|- F/_ t F
stoweidlem59.2	|- F/ t ph
stoweidlem59.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem59.4	|- T = U. J
stoweidlem59.5	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem59.6	|- D = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
stoweidlem59.7	|- B = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
stoweidlem59.8	|- Y = { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem59.9	|- H = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
stoweidlem59.10	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem59.11	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem59.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem59.13	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem59.14	|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
stoweidlem59.15	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem59.16	|- ( ph -> F e. C )
stoweidlem59.17	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem59.18	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
stoweidlem59.19	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem59	|- ( ph -> E. x ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   t, j, y   y, B   y, D   j, N, t, y   j, Y   f, g, j, q, r, t, N   x, f, g, j, t, N   y, f, q, r, A   A, g, q, r, t   B, f, g, q, r   D, f, g, q, r   f, E, g, r, t   f, J, g, r, t   T, f, g, q, r, t   ph, f, g, j, q, r   x, y, A   x, B   x, D   x, E, y   x, T, y   ph, y   t, K   x, H   x, Y   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( j)   B( t, j)   C( x, y, t, f, g, j, r, q)   D( t, j)   T( j)   E( j, q)   F( x, y, t, f, g, j, r, q)   H( y, t, f, g, j, r, q)   J( x, y, j, q)   K( x, y, f, g, j, r, q)   Y( y, t, f, g, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem59

Dummy variables a w h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem59.8	. . . . . . . . . 10 |- Y = { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) }
2		nfrab1 3122	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) }
3	1, 2	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ y Y
4		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ z Y
5		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ z ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) )
6		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A. t e. ( D ` j ) ( z ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) )
7		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y ` t ) = ( z ` t ) )
8	7	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( y ` t ) < ( E / N ) <-> ( z ` t ) < ( E / N ) ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) <-> A. t e. ( D ` j ) ( z ` t ) < ( E / N ) ) )
10	7	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) )
12	9, 11	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) <-> ( A. t e. ( D ` j ) ( z ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) ) )
13	3, 4, 5, 6, 12	cbvrab 3198	. . . . . . . 8 |- { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } = { z e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( z ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( z ` t ) ) }
14		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J Cn K ) e. _V )
15		stoweidlem59.11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ C )
16		stoweidlem59.5	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( J Cn K )
17	15, 16	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
18	14, 17	ssexd 4805	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. _V )
19	1, 18	rabexd 4814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. _V )
20	13, 19	rabexd 4814	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V )
21	20	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( ph -> A. j e. ( 0 ... N ) { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V )
22		stoweidlem59.9	. . . . . . 7 |- H = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
23	22	fnmpt 6020	. . . . . 6 |- ( A. j e. ( 0 ... N ) { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V -> H Fn ( 0 ... N ) )
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> H Fn ( 0 ... N ) )
25		fzfi 12771	. . . . 5 |- ( 0 ... N ) e. Fin
26		fnfi 8238	. . . . 5 |- ( ( H Fn ( 0 ... N ) /\ ( 0 ... N ) e. Fin ) -> H e. Fin )
27	24, 25, 26	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> H e. Fin )
28		rnfi 8249	. . . 4 |- ( H e. Fin -> ran H e. Fin )
29	27, 28	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran H e. Fin )
30		fnchoice 39188	. . 3 |- ( ran H e. Fin -> E. h ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) )
31	29, 30	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. h ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) )
32		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> h Fn ran H )
33		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... N ) e. _V
34	33	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) e. _V
35	22, 34	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- H e. _V
36	35	rnex 7100	. . . . 5 |- ran H e. _V
37		fnex 6481	. . . . 5 |- ( ( h Fn ran H /\ ran H e. _V ) -> h e. _V )
38	32, 36, 37	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> h e. _V )
39		coexg 7117	. . . 4 |- ( ( h e. _V /\ H e. _V ) -> ( h o. H ) e. _V )
40	38, 35, 39	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( h o. H ) e. _V )
41		dffn3 6054	. . . . . . 7 |- ( h Fn ran H <-> h : ran H --> ran h )
42	32, 41	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> h : ran H --> ran h )
43		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ w ph
44		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ w h Fn ran H
45		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ w A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w )
46	44, 45	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ w ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) )
47	43, 46	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ w ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) )
48		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ w e. ran H ) -> A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ w e. ran H ) -> w e. ran H )
50		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H Fn ( 0 ... N ) -> ( w e. ran H <-> E. a e. ( 0 ... N ) ( H ` a ) = w ) )
51		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ a ( H ` j ) = w
52		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
53	22, 52	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j H
54		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j a
55	53, 54	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j ( H ` a )
56		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j w
57	55, 56	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ j ( H ` a ) = w
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = a -> ( H ` j ) = ( H ` a ) )
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = a -> ( ( H ` j ) = w <-> ( H ` a ) = w ) )
60	51, 57, 59	cbvrex 3168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w <-> E. a e. ( 0 ... N ) ( H ` a ) = w )
61	50, 60	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H Fn ( 0 ... N ) -> ( w e. ran H <-> E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w ) )
62	24, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( w e. ran H <-> E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w ) )
63	62	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ran H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w )
64		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) /\ ( H ` j ) = w ) -> ( H ` j ) = w )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
66	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V )
67	22	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } e. _V ) -> ( H ` j ) = { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
68	65, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( H ` j ) = { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
69		stoweidlem59.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- D = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
70		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ t ( 0 ... N )
71		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ t { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) }
72	70, 71	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ t ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
73	69, 72	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ t D
74		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ t j
75	73, 74	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ t ( D ` j )
76		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ t T
77		stoweidlem59.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- B = ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
78		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- F/_ t { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) }
79	70, 78	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ t ( j e. ( 0 ... N ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
80	77, 79	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ t B
81	80, 74	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ t ( B ` j )
82	76, 81	nfdif 3731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ t ( T \ ( B ` j ) )
83		stoweidlem59.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ t ph
84		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/ t j e. ( 0 ... N )
85	83, 84	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ t ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) )
86		stoweidlem59.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- K = ( topGen ` ran (,) )
87		stoweidlem59.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- T = U. J
88		stoweidlem59.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> J e. Comp )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> J e. Comp )
90	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A C_ C )
91		stoweidlem59.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
92	91	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
93		stoweidlem59.13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
94	93	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
95		stoweidlem59.14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
96	95	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
97		stoweidlem59.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
98	97	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
99		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
100	88, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> U. J e. _V )
101	87, 100	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> T e. _V )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> T e. _V )
103		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( T e. _V -> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } e. _V )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } e. _V )
105	77	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } e. _V ) -> ( B ` j ) = { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
106	65, 104, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` j ) = { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
107		stoweidlem59.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ t F
108		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } = { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) }
109		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
110	109	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. RR )
111		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 3 e. RR
112		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 3 =/= 0
113	111, 112	rereccli 10790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 1 / 3 ) e. RR
114		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. RR /\ ( 1 / 3 ) e. RR ) -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
115	110, 113, 114	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
117		stoweidlem59.17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> E e. RR+ )
118	117	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> E e. RR )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> E e. RR )
120	116, 119	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
121		stoweidlem59.16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> F e. C )
122	121, 16	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
124	107, 86, 87, 108, 120, 123	rfcnpre3 39192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } e. ( Clsd ` J ) )
125	106, 124	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` j ) e. ( Clsd ` J ) )
126		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( T e. _V -> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } e. _V )
127	102, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } e. _V )
128	69	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ( 0 ... N ) /\ { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } e. _V ) -> ( D ` j ) = { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
129	65, 127, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( D ` j ) = { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
130		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } = { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) }
131		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( j e. RR /\ ( 1 / 3 ) e. RR ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR )
132	110, 113, 131	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR )
133	132	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR )
134	133, 119	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
135	107, 86, 87, 130, 134, 123	rfcnpre4 39193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } e. ( Clsd ` J ) )
136	129, 135	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( D ` j ) e. ( Clsd ` J ) )
137	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
138	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) e. RR )
139	86, 87, 16, 121	fcnre 39184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> F : T --> RR )
140	139	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> F : T --> RR )
141		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } C_ T
142	106, 141	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` j ) C_ T )
143	142	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> t e. T )
144	140, 143	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( F ` t ) e. RR )
145	113, 131	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( j e. RR -> ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR )
146		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( j e. RR -> j e. RR )
147	113, 114	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( j e. RR -> ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR )
148		3pos 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- 0 < 3
149	111, 148	recgt0ii 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- 0 < ( 1 / 3 )
150	113, 149	elrpii 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( 1 / 3 ) e. RR+
151		ltsubrp 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( j e. RR /\ ( 1 / 3 ) e. RR+ ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < j )
152	150, 151	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( j e. RR -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < j )
153		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( j e. RR /\ ( 1 / 3 ) e. RR+ ) -> j < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
154	150, 153	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( j e. RR -> j < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
155	145, 146, 147, 152, 154	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( j e. RR -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
156	110, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
157	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) )
158	117	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> ( E e. RR /\ 0 < E ) )
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( E e. RR /\ 0 < E ) )
160		ltmul1 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) e. RR /\ ( j + ( 1 / 3 ) ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) <-> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) )
161	133, 116, 159, 160	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) < ( j + ( 1 / 3 ) ) <-> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) )
162	157, 161	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
164	106	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. ( B ` j ) <-> t e. { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } ) )
165	164	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> t e. { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
166		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( t e. { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } <-> ( t e. T /\ ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) ) )
167	165, 166	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( t e. T /\ ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) ) )
168	167	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) )
169	137, 138, 144, 163, 168	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) )
170	137, 144	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) <-> -. ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) )
171	169, 170	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> -. ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) )
172	171	intnand 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> -. ( t e. T /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) )
173		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( t e. { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } <-> ( t e. T /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) )
174	172, 173	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> -. t e. { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
175	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( D ` j ) = { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
176	174, 175	neleqtrrd 2723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> -. t e. ( D ` j ) )
177	176	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( t e. ( B ` j ) -> -. t e. ( D ` j ) ) )
178	85, 177	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. t e. ( B ` j ) -. t e. ( D ` j ) )
179		disj 4017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( B ` j ) i^i ( D ` j ) ) = (/) <-> A. a e. ( B ` j ) -. a e. ( D ` j ) )
180		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ a ( B ` j )
181	75	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- F/ t a e. ( D ` j )
182	181	nfn 1784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ t -. a e. ( D ` j )
183		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ a -. t e. ( D ` j )
184		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( a = t -> ( a e. ( D ` j ) <-> t e. ( D ` j ) ) )
185	184	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = t -> ( -. a e. ( D ` j ) <-> -. t e. ( D ` j ) ) )
186	180, 81, 182, 183, 185	cbvralf 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. a e. ( B ` j ) -. a e. ( D ` j ) <-> A. t e. ( B ` j ) -. t e. ( D ` j ) )
187	179, 186	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( B ` j ) i^i ( D ` j ) ) = (/) <-> A. t e. ( B ` j ) -. t e. ( D ` j ) )
188	178, 187	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` j ) i^i ( D ` j ) ) = (/) )
189		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( T \ ( B ` j ) ) = ( T \ ( B ` j ) )
190		stoweidlem59.19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> N e. NN )
191	190	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> N e. RR+ )
192	117, 191	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( E / N ) e. RR+ )
193	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( E / N ) e. RR+ )
194	118, 190	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( E / N ) e. RR )
195	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
196	190	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> 1 <_ N )
197		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 1 e. RR
198		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 0 < 1
199	197, 198	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
200	199	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
201	190	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> N e. RR )
202	190	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> 0 < N )
203		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( 1 <_ N <-> ( E / N ) <_ ( E / 1 ) ) )
204	200, 201, 202, 158, 203	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( 1 <_ N <-> ( E / N ) <_ ( E / 1 ) ) )
205	196, 204	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( E / N ) <_ ( E / 1 ) )
206	117	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> E e. CC )
207	206	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( E / 1 ) = E )
208	205, 207	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( E / N ) <_ E )
209		stoweidlem59.18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
210	194, 118, 195, 208, 209	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( E / N ) < ( 1 / 3 ) )
211	210	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( E / N ) < ( 1 / 3 ) )
212	75, 82, 85, 86, 87, 16, 89, 90, 92, 94, 96, 98, 125, 136, 188, 189, 193, 211	stoweidlem58 40275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) )
213		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) <-> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) )
214	212, 213	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) )
215		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> x e. A )
216		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) )
217		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( y = x -> ( y ` t ) = ( x ` t ) )
218	217	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = x -> ( 0 <_ ( y ` t ) <-> 0 <_ ( x ` t ) ) )
219	217	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = x -> ( ( y ` t ) <_ 1 <-> ( x ` t ) <_ 1 ) )
220	218, 219	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = x -> ( ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) ) )
221	220	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = x -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) ) )
222	221, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. Y <-> ( x e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) ) )
223	215, 216, 222	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> x e. Y )
224		simprr2 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) )
225		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) )
226	224, 225	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> ( A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) )
227		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ y x
228		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/ y ( A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) )
229	217	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = x -> ( ( y ` t ) < ( E / N ) <-> ( x ` t ) < ( E / N ) ) )
230	229	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = x -> ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) <-> A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) ) )
231	217	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = x -> ( ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) )
232	231	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = x -> ( A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) )
233	230, 232	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = x -> ( ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) <-> ( A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) )
234	227, 3, 228, 233	elrabf 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } <-> ( x e. Y /\ ( A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) )
235	223, 226, 234	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) ) -> x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
236	235	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) -> x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) )
237	236	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( x ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( x ` t ) ) ) -> E. x x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) )
238	214, 237	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> E. x x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
239		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } =/= (/) )
240	239	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. x x e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } =/= (/) )
241	238, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } =/= (/) )
242	68, 241	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( H ` j ) =/= (/) )
243	242	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) /\ ( H ` j ) = w ) -> ( H ` j ) =/= (/) )
244	64, 243	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) /\ ( H ` j ) = w ) -> w =/= (/) )
245	244	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( j e. ( 0 ... N ) -> ( ( H ` j ) = w -> w =/= (/) ) ) )
246	245	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w -> w =/= (/) ) )
247	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ran H ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) ( H ` j ) = w -> w =/= (/) ) )
248	63, 247	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ran H ) -> w =/= (/) )
249	248	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ w e. ran H ) -> w =/= (/) )
250		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) -> ( w e. ran H -> ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) )
251	48, 49, 249, 250	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ w e. ran H ) -> ( h ` w ) e. w )
252	251	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( w e. ran H -> ( h ` w ) e. w ) )
253	47, 252	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> A. w e. ran H ( h ` w ) e. w )
254		chfnrn 6328	. . . . . . . 8 |- ( ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( h ` w ) e. w ) -> ran h C_ U. ran H )
255	32, 253, 254	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ran h C_ U. ran H )
256		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ph
257		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y h
258		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( 0 ... N )
259		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) }
260	258, 259	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
261	22, 260	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y H
262	261	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ran H
263	257, 262	nffn 5987	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y h Fn ran H
264		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w )
265	262, 264	nfral 2945	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w )
266	263, 265	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) )
267	256, 266	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) )
268	262	nfuni 4442	. . . . . . . . 9 |- F/_ y U. ran H
269		fnunirn 6511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H Fn ( 0 ... N ) -> ( y e. U. ran H <-> E. z e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` z ) ) )
270		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ j z
271	53, 270	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ j ( H ` z )
272	271	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j y e. ( H ` z )
273		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z y e. ( H ` j )
274		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = j -> ( H ` z ) = ( H ` j ) )
275	274	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = j -> ( y e. ( H ` z ) <-> y e. ( H ` j ) ) )
276	272, 273, 275	cbvrex 3168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` z ) <-> E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) )
277	269, 276	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H Fn ( 0 ... N ) -> ( y e. U. ran H <-> E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) ) )
278	24, 277	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. U. ran H <-> E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) ) )
279	278	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. U. ran H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) )
280		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ph
281	53	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ j ran H
282	281	nfuni 4442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j U. ran H
283	282	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j y e. U. ran H
284	280, 283	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ( ph /\ y e. U. ran H )
285		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j y e. Y
286		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. U. ran H ) /\ j e. ( 0 ... N ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> ph )
287		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. U. ran H ) /\ j e. ( 0 ... N ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
288		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. U. ran H ) /\ j e. ( 0 ... N ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. ( H ` j ) )
289	68	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( y e. ( H ` j ) <-> y e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } ) )
290	289	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
291		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } <-> ( y e. Y /\ ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) ) )
292	290, 291	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> ( y e. Y /\ ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) ) )
293	292	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. Y )
294	286, 287, 288, 293	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. U. ran H ) /\ j e. ( 0 ... N ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. Y )
295	294	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. U. ran H ) -> ( j e. ( 0 ... N ) -> ( y e. ( H ` j ) -> y e. Y ) ) )
296	284, 285, 295	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. U. ran H ) -> ( E. j e. ( 0 ... N ) y e. ( H ` j ) -> y e. Y ) )
297	279, 296	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. U. ran H ) -> y e. Y )
298	297	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ y e. U. ran H ) -> y e. Y )
299	298	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( y e. U. ran H -> y e. Y ) )
300	267, 268, 3, 299	ssrd 3608	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> U. ran H C_ Y )
301		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } C_ A
302	1, 301	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- Y C_ A
303	300, 302	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> U. ran H C_ A )
304	255, 303	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ran h C_ A )
305	42, 304	fssd 6057	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> h : ran H --> A )
306		dffn3 6054	. . . . . . 7 |- ( H Fn ( 0 ... N ) <-> H : ( 0 ... N ) --> ran H )
307	24, 306	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> H : ( 0 ... N ) --> ran H )
308	307	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> H : ( 0 ... N ) --> ran H )
309		fco 6058	. . . . 5 |- ( ( h : ran H --> A /\ H : ( 0 ... N ) --> ran H ) -> ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A )
310	305, 308, 309	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A )
311		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j h
312	311, 281	nffn 5987	. . . . . . 7 |- F/ j h Fn ran H
313		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ j ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w )
314	281, 313	nfral 2945	. . . . . . 7 |- F/ j A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w )
315	312, 314	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ j ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) )
316	280, 315	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ j ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) )
317		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ph )
318		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
319	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> H Fn ( 0 ... N ) )
320		fvco2 6273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Fn ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) = ( h ` ( H ` j ) ) )
321	319, 320	sylancom 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) = ( h ` ( H ` j ) ) )
322		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) )
323		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H Fn ( 0 ... N ) -> Fun H )
324	24, 323	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Fun H )
325	324	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> Fun H )
326		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( H Fn ( 0 ... N ) -> dom H = ( 0 ... N ) )
327	24, 326	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom H = ( 0 ... N ) )
328	327	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> dom H = ( 0 ... N ) )
329	65, 328	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. dom H )
330	329	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. dom H )
331		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun H /\ j e. dom H ) -> ( H ` j ) e. ran H )
332	325, 330, 331	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( H ` j ) e. ran H )
333	322, 332	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) /\ ( H ` j ) e. ran H ) )
334	242	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( H ` j ) =/= (/) )
335		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( H ` j ) -> ( w =/= (/) <-> ( H ` j ) =/= (/) ) )
336		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( H ` j ) -> ( h ` w ) = ( h ` ( H ` j ) ) )
337		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( H ` j ) -> w = ( H ` j ) )
338	336, 337	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( H ` j ) -> ( ( h ` w ) e. w <-> ( h ` ( H ` j ) ) e. ( H ` j ) ) )
339	335, 338	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( H ` j ) -> ( ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) <-> ( ( H ` j ) =/= (/) -> ( h ` ( H ` j ) ) e. ( H ` j ) ) ) )
340	339	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) /\ ( H ` j ) e. ran H ) -> ( ( H ` j ) =/= (/) -> ( h ` ( H ` j ) ) e. ( H ` j ) ) )
341	333, 334, 340	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( h ` ( H ` j ) ) e. ( H ` j ) )
342	321, 341	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) )
343	257, 261	nfco 5287	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( h o. H )
344		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y j
345	343, 344	nffv 6198	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( ( h o. H ) ` j )
346		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) )
347	261, 344	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( H ` j )
348	345, 347	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j )
349	346, 348	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) )
350	345, 3	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ( h o. H ) ` j ) e. Y
351	349, 350	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y )
352		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( y e. ( H ` j ) <-> ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) )
353	352	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) ) )
354		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( y e. Y <-> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) )
355	353, 354	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> y e. Y ) <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) ) )
356	345, 351, 355, 293	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y ) )
357	356	anabsi7 860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y )
358	317, 318, 342, 357	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( h o. H ) ` j ) e. Y )
359	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. Y <-> ( ( h o. H ) ` j ) e. { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } )
360		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
361		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y T
362		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y 0
363		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y <_
364		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y t
365	345, 364	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t )
366	362, 363, 365	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t )
367		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y 1
368	365, 363, 367	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1
369	366, 368	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 )
370	361, 369	nfral 2945	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 )
371		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t y
372		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t h
373		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ t A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N )
374		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ t A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t )
375	373, 374	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ t ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) )
376		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 )
377		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ t A
378	376, 377	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ t { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) }
379	1, 378	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ t Y
380	375, 379	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) }
381	70, 380	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( j e. ( 0 ... N ) |-> { y e. Y | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) } )
382	22, 381	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t H
383	372, 382	nfco 5287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t ( h o. H )
384	383, 74	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t ( ( h o. H ) ` j )
385	371, 384	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t y = ( ( h o. H ) ` j )
386		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( y ` t ) = ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) )
387	386	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( 0 <_ ( y ` t ) <-> 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
388	386	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( y ` t ) <_ 1 <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) )
389	387, 388	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) )
390	385, 389	ralbid 2983	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) )
391	345, 360, 370, 390	elrabf 3360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) )
392	359, 391	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. Y <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) )
393	358, 392	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( h o. H ) ` j ) e. A /\ A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) )
394	393	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) )
395		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( D ` j )
396		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y <
397		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( E / N )
398	365, 396, 397	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N )
399	395, 398	nfral 2945	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N )
400	349, 399	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) )
401	386	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( y ` t ) < ( E / N ) <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) )
402	385, 401	ralbid 2983	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) <-> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) )
403	353, 402	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) ) <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) ) )
404	292	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) )
405	404	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / N ) )
406	345, 400, 403, 405	vtoclgf 3264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) )
407	406	anabsi7 860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) )
408	317, 318, 342, 407	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) )
409		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y ( B ` j )
410		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( 1 - ( E / N ) )
411	410, 396, 365	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t )
412	409, 411	nfral 2945	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t )
413	349, 412	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) )
414	386	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
415	385, 414	ralbid 2983	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) <-> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
416	353, 415	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( h o. H ) ` j ) -> ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) ) <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) )
417	404	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ y e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( y ` t ) )
418	345, 413, 416, 417	vtoclgf 3264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
419	418	anabsi7 860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( h o. H ) ` j ) e. ( H ` j ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) )
420	317, 318, 342, 419	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) )
421	394, 408, 420	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
422	421	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( j e. ( 0 ... N ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) )
423	316, 422	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
424	310, 423	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> ( ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) )
425		feq1 6026	. . . . 5 |- ( x = ( h o. H ) -> ( x : ( 0 ... N ) --> A <-> ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A ) )
426		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j x
427	311, 53	nfco 5287	. . . . . . 7 |- F/_ j ( h o. H )
428	426, 427	nfeq 2776	. . . . . 6 |- F/ j x = ( h o. H )
429		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t x
430	429, 383	nfeq 2776	. . . . . . . 8 |- F/ t x = ( h o. H )
431		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( h o. H ) -> ( x ` j ) = ( ( h o. H ) ` j ) )
432	431	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( h o. H ) -> ( ( x ` j ) ` t ) = ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) )
433	432	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( h o. H ) -> ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) <-> 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
434	432	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( h o. H ) -> ( ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) )
435	433, 434	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = ( h o. H ) -> ( ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) )
436	430, 435	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( x = ( h o. H ) -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) ) )
437	432	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = ( h o. H ) -> ( ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) <-> ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) )
438	430, 437	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( x = ( h o. H ) -> ( A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) <-> A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) ) )
439	432	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( x = ( h o. H ) -> ( ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) <-> ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
440	430, 439	ralbid 2983	. . . . . . 7 |- ( x = ( h o. H ) -> ( A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) <-> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) )
441	436, 438, 440	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( x = ( h o. H ) -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) )
442	428, 441	ralbid 2983	. . . . 5 |- ( x = ( h o. H ) -> ( A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) <-> A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) )
443	425, 442	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = ( h o. H ) -> ( ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) <-> ( ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) ) )
444	443	spcegv 3294	. . 3 |- ( ( h o. H ) e. _V -> ( ( ( h o. H ) : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) /\ ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( ( h o. H ) ` j ) ` t ) ) ) -> E. x ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
445	40, 424, 444	sylc 65	. 2 |- ( ( ph /\ ( h Fn ran H /\ A. w e. ran H ( w =/= (/) -> ( h ` w ) e. w ) ) ) -> E. x ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
446	31, 445	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> E. x ( x : ( 0 ... N ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... N ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / N ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / N ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   topGenctg 16098   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem60  40277