Theorem rpnnen2lem3 14945

Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem3	|- seq 1 ( + , ( F ` NN ) ) ~~> ( 1 / 2 )

Distinct variable group:   x, n

Allowed substitution hints:   F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
2		3nn 11186	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
3		nndivre 11056	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( 1 / 3 ) e. RR )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( 1 / 3 ) e. RR
5	4	recni 10052	. . . . 5 |- ( 1 / 3 ) e. CC
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( 1 / 3 ) e. CC )
7		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8		3re 11094	. . . . . . . . 9 |- 3 e. RR
9		3pos 11114	. . . . . . . . 9 |- 0 < 3
10	8, 9	recgt0ii 10929	. . . . . . . 8 |- 0 < ( 1 / 3 )
11	7, 4, 10	ltleii 10160	. . . . . . 7 |- 0 <_ ( 1 / 3 )
12		absid 14036	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / 3 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 3 ) ) -> ( abs ` ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 3 ) )
13	4, 11, 12	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( abs ` ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 3 )
14		1lt3 11196	. . . . . . 7 |- 1 < 3
15		recgt1 10919	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) -> ( 1 < 3 <-> ( 1 / 3 ) < 1 ) )
16	8, 9, 15	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( 1 < 3 <-> ( 1 / 3 ) < 1 )
17	14, 16	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( 1 / 3 ) < 1
18	13, 17	eqbrtri 4674	. . . . 5 |- ( abs ` ( 1 / 3 ) ) < 1
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( abs ` ( 1 / 3 ) ) < 1 )
20		1nn0 11308	. . . . 5 |- 1 e. NN0
21	20	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
22		ssid 3624	. . . . . 6 |- NN C_ NN
23		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	23, 24	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
26		rpnnen2.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
27	26	rpnnen2lem1 14943	. . . . . 6 |- ( ( NN C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` NN ) ` k ) = if ( k e. NN , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
28	22, 25, 27	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( F ` NN ) ` k ) = if ( k e. NN , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
29	25	iftrued 4094	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( k e. NN , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) = ( ( 1 / 3 ) ^ k ) )
30	28, 29	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( F ` NN ) ` k ) = ( ( 1 / 3 ) ^ k ) )
31	6, 19, 21, 30	geolim2 14602	. . 3 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( F ` NN ) ) ~~> ( ( ( 1 / 3 ) ^ 1 ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) )
32	31	trud 1493	. 2 |- seq 1 ( + , ( F ` NN ) ) ~~> ( ( ( 1 / 3 ) ^ 1 ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) )
33		exp1 12866	. . . . 5 |- ( ( 1 / 3 ) e. CC -> ( ( 1 / 3 ) ^ 1 ) = ( 1 / 3 ) )
34	5, 33	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( 1 / 3 ) ^ 1 ) = ( 1 / 3 )
35		3cn 11095	. . . . . 6 |- 3 e. CC
36		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
37		3ne0 11115	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
38	35, 37	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 )
39		divsubdir 10721	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) ) -> ( ( 3 - 1 ) / 3 ) = ( ( 3 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) )
40	35, 36, 38, 39	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( ( 3 - 1 ) / 3 ) = ( ( 3 / 3 ) - ( 1 / 3 ) )
41		3m1e2 11137	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
42	41	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 3 - 1 ) / 3 ) = ( 2 / 3 )
43	35, 37	dividi 10758	. . . . . 6 |- ( 3 / 3 ) = 1
44	43	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 3 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ) = ( 1 - ( 1 / 3 ) )
45	40, 42, 44	3eqtr3ri 2653	. . . 4 |- ( 1 - ( 1 / 3 ) ) = ( 2 / 3 )
46	34, 45	oveq12i 6662	. . 3 |- ( ( ( 1 / 3 ) ^ 1 ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 1 / 3 ) / ( 2 / 3 ) )
47		2cnne0 11242	. . . 4 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
48		divcan7 10734	. . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / 3 ) / ( 2 / 3 ) ) = ( 1 / 2 ) )
49	36, 47, 38, 48	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( 1 / 3 ) / ( 2 / 3 ) ) = ( 1 / 2 )
50	46, 49	eqtri 2644	. 2 |- ( ( ( 1 / 3 ) ^ 1 ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / 2 )
51	32, 50	breqtri 4678	1 |- seq 1 ( + , ( F ` NN ) ) ~~> ( 1 / 2 )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  14947  rpnnen2lem12  14954