MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem rpnnen2lem4 14946
Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( F ` A ) ` k ) /\ ( ( F ` A ) ` k ) <_ ( ( F ` B ) ` k ) ) )
Distinct variable groups:   x, n, k, A   B, k, n, x   k, F
Allowed substitution hints:   F( x, n)
Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11299 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
2 0re 10040 . . . . . . 7 |- 0 e. RR
3 1re 10039 . . . . . . . 8 |- 1 e. RR
4 3nn 11186 . . . . . . . 8 |- 3 e. NN
5 nndivre 11056 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( 1 / 3 ) e. RR )
63, 4, 5mp2an 708 . . . . . . 7 |- ( 1 / 3 ) e. RR
7 3re 11094 . . . . . . . 8 |- 3 e. RR
8 3pos 11114 . . . . . . . 8 |- 0 < 3
97, 8recgt0ii 10929 . . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / 3 )
102, 6, 9ltleii 10160 . . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 3 )
11 expge0 12896 . . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / 3 ) e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ ( 1 / 3 ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / 3 ) ^ k ) )
126, 11mp3an1 1411 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ 0 <_ ( 1 / 3 ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / 3 ) ^ k ) )
131, 10, 12sylancl 694 . . . . 5 |- ( k e. NN -> 0 <_ ( ( 1 / 3 ) ^ k ) )
14133ad2ant3 1084 . . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( 1 / 3 ) ^ k ) )
15 0le0 11110 . . . 4 |- 0 <_ 0
16 breq2 4657 . . . . 5 |- ( ( ( 1 / 3 ) ^ k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( ( 1 / 3 ) ^ k ) <-> 0 <_ if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) ) )
17 breq2 4657 . . . . 5 |- ( 0 = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) -> ( 0 <_ 0 <-> 0 <_ if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) ) )
1816, 17ifboth 4124 . . . 4 |- ( ( 0 <_ ( ( 1 / 3 ) ^ k ) /\ 0 <_ 0 ) -> 0 <_ if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
1914, 15, 18sylancl 694 . . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> 0 <_ if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
20 sstr 3611 . . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN ) -> A C_ NN )
21 rpnnen2.1 . . . . 5 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
2221rpnnen2lem1 14943 . . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
2320, 22stoic3 1701 . . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
2419, 23breqtrrd 4681 . 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( ( F ` A ) ` k ) )
25 reexpcl 12877 . . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 3 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 3 ) ^ k ) e. RR )
266, 1, 25sylancr 695 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / 3 ) ^ k ) e. RR )
27263ad2ant3 1084 . . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / 3 ) ^ k ) e. RR )
28 0red 10041 . . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> 0 e. RR )
29 simp1 1061 . . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> A C_ B )
3029sseld 3602 . . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( k e. A -> k e. B ) )
31 ifle 12028 . . . 4 |- ( ( ( ( ( 1 / 3 ) ^ k ) e. RR /\ 0 e. RR /\ 0 <_ ( ( 1 / 3 ) ^ k ) ) /\ ( k e. A -> k e. B ) ) -> if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) <_ if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
3227, 28, 14, 30, 31syl31anc 1329 . . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> if ( k e. A , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) <_ if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
3321rpnnen2lem1 14943 . . . 4 |- ( ( B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
34333adant1 1079 . . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
3532, 23, 343brtr4d 4685 . 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) <_ ( ( F ` B ) ` k ) )
3624, 35jca 554 1 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( F ` A ) ` k ) /\ ( ( F ` A ) ` k ) <_ ( ( F ` B ) ` k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   NN0cn0 11292   ^cexp 12860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  14947  rpnnen2lem7  14949  rpnnen2lem12  14954
  Copyright terms: Public domain W3C validator