Theorem gt0ne0ii 10564

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2.1	|- A e. RR
gt0ne0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0ii	|- A =/= 0

Proof of Theorem gt0ne0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0i.2	. 2 |- 0 < A
2		lt2.1	. . 3 |- A e. RR
3	2	gt0ne0i 10563	. 2 |- ( 0 < A -> A =/= 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	1 |- A =/= 0

Syntax hints:   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  eqneg  10745  recgt0ii  10929  nnne0i  11055  2ne0  11113  3ne0  11115  4ne0  11117  8th4div3  11252  halfpm6th  11253  5recm6rec  11686  0.999...  14612  0.999...OLD  14613  bpoly2  14788  bpoly3  14789  fsumcube  14791  efi4p  14867  resin4p  14868  recos4p  14869  ef01bndlem  14914  cos2bnd  14918  sincos2sgn  14924  ene0  14937  sinhalfpilem  24215  sincos6thpi  24267  sineq0  24273  coseq1  24274  efeq1  24275  cosne0  24276  efif1olem2  24289  efif1olem4  24291  eflogeq  24348  logf1o2  24396  ecxp  24419  cxpsqrt  24449  root1eq1  24496  ang180lem1  24539  ang180lem2  24540  ang180lem3  24541  2lgsoddprmlem1  25133  2lgsoddprmlem2  25134  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  dp2cl  29587  dp2ltc  29594  dpfrac1  29599  dpfrac1OLD  29600  dpmul4  29622  subfaclim  31170  bj-pinftynminfty  33114  taupilem1  33167  proot1ex  37779  coseq0  40075  sinaover2ne0  40079  wallispi  40287  stirlinglem3  40293  stirlinglem15  40305  dirkertrigeqlem2  40316  dirkertrigeqlem3  40317  dirkertrigeq  40318  dirkeritg  40319  dirkercncflem1  40320  fourierdlem24  40348  fourierdlem95  40418  fourierswlem  40447