MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem9 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem rpnnen2lem9 14951
Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( M + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, n, k   k, F   k, M, n, x
Allowed substitution hints:   F( x, n)
Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2 nnz 11399 . . 3 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
3 eqidd 2623 . . 3 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) )
4 eluznn 11758 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
5 difss 3737 . . . . . . 7 |- ( NN \ { M } ) C_ NN
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
76rpnnen2lem2 14944 . . . . . . 7 |- ( ( NN \ { M } ) C_ NN -> ( F ` ( NN \ { M } ) ) : NN --> RR )
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( F ` ( NN \ { M } ) ) : NN --> RR
98ffvelrni 6358 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) e. RR )
109recnd 10068 . . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) e. CC )
114, 10syl 17 . . 3 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) e. CC )
126rpnnen2lem5 14947 . . . 4 |- ( ( ( NN \ { M } ) C_ NN /\ M e. NN ) -> seq M ( + , ( F ` ( NN \ { M } ) ) ) e. dom ~~> )
135, 12mpan 706 . . 3 |- ( M e. NN -> seq M ( + , ( F ` ( NN \ { M } ) ) ) e. dom ~~> )
141, 2, 3, 11, 13isum1p 14573 . 2 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = ( ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` M ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) ) )
156rpnnen2lem1 14943 . . . . 5 |- ( ( ( NN \ { M } ) C_ NN /\ M e. NN ) -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` M ) = if ( M e. ( NN \ { M } ) , ( ( 1 / 3 ) ^ M ) , 0 ) )
165, 15mpan 706 . . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` M ) = if ( M e. ( NN \ { M } ) , ( ( 1 / 3 ) ^ M ) , 0 ) )
17 neldifsnd 4322 . . . . 5 |- ( M e. NN -> -. M e. ( NN \ { M } ) )
1817iffalsed 4097 . . . 4 |- ( M e. NN -> if ( M e. ( NN \ { M } ) , ( ( 1 / 3 ) ^ M ) , 0 ) = 0 )
1916, 18eqtrd 2656 . . 3 |- ( M e. NN -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` M ) = 0 )
20 eqid 2622 . . . 4 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
21 peano2nn 11032 . . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. NN )
2221nnzd 11481 . . . 4 |- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. ZZ )
23 eqidd 2623 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) )
24 eluznn 11758 . . . . . 6 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k e. NN )
2521, 24sylan 488 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k e. NN )
2625, 10syl 17 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) e. CC )
27 1re 10039 . . . . . . . 8 |- 1 e. RR
28 3nn 11186 . . . . . . . 8 |- 3 e. NN
29 nndivre 11056 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( 1 / 3 ) e. RR )
3027, 28, 29mp2an 708 . . . . . . 7 |- ( 1 / 3 ) e. RR
3130recni 10052 . . . . . 6 |- ( 1 / 3 ) e. CC
3231a1i 11 . . . . 5 |- ( M e. NN -> ( 1 / 3 ) e. CC )
33 0re 10040 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
34 3re 11094 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
35 3pos 11114 . . . . . . . . . 10 |- 0 < 3
3634, 35recgt0ii 10929 . . . . . . . . 9 |- 0 < ( 1 / 3 )
3733, 30, 36ltleii 10160 . . . . . . . 8 |- 0 <_ ( 1 / 3 )
38 absid 14036 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 3 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 3 ) ) -> ( abs ` ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 3 ) )
3930, 37, 38mp2an 708 . . . . . . 7 |- ( abs ` ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 3 )
40 1lt3 11196 . . . . . . . 8 |- 1 < 3
41 recgt1 10919 . . . . . . . . 9 |- ( ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) -> ( 1 < 3 <-> ( 1 / 3 ) < 1 ) )
4234, 35, 41mp2an 708 . . . . . . . 8 |- ( 1 < 3 <-> ( 1 / 3 ) < 1 )
4340, 42mpbi 220 . . . . . . 7 |- ( 1 / 3 ) < 1
4439, 43eqbrtri 4674 . . . . . 6 |- ( abs ` ( 1 / 3 ) ) < 1
4544a1i 11 . . . . 5 |- ( M e. NN -> ( abs ` ( 1 / 3 ) ) < 1 )
4621nnnn0d 11351 . . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. NN0 )
476rpnnen2lem1 14943 . . . . . . . 8 |- ( ( ( NN \ { M } ) C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = if ( k e. ( NN \ { M } ) , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
485, 47mpan 706 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = if ( k e. ( NN \ { M } ) , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
4925, 48syl 17 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = if ( k e. ( NN \ { M } ) , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) )
50 nnre 11027 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. RR )
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. RR )
52 eluzle 11700 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) <_ k )
5352adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) <_ k )
54 nnltp1le 11433 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. NN ) -> ( M < k <-> ( M + 1 ) <_ k ) )
5525, 54syldan 487 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M < k <-> ( M + 1 ) <_ k ) )
5653, 55mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M < k )
5751, 56gtned 10172 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k =/= M )
58 eldifsn 4317 . . . . . . . 8 |- ( k e. ( NN \ { M } ) <-> ( k e. NN /\ k =/= M ) )
5925, 57, 58sylanbrc 698 . . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k e. ( NN \ { M } ) )
6059iftrued 4094 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> if ( k e. ( NN \ { M } ) , ( ( 1 / 3 ) ^ k ) , 0 ) = ( ( 1 / 3 ) ^ k ) )
6149, 60eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = ( ( 1 / 3 ) ^ k ) )
6232, 45, 46, 61geolim2 14602 . . . 4 |- ( M e. NN -> seq ( M + 1 ) ( + , ( F ` ( NN \ { M } ) ) ) ~~> ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( M + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) )
6320, 22, 23, 26, 62isumclim 14488 . . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( M + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) )
6419, 63oveq12d 6668 . 2 |- ( M e. NN -> ( ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` M ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) ) = ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( M + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) ) )
6514, 64eqtrd 2656 1 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( F ` ( NN \ { M } ) ) ` k ) = ( 0 + ( ( ( 1 / 3 ) ^ ( M + 1 ) ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  14953
  Copyright terms: Public domain W3C validator