eldioph2lem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem eldioph2lem2 37324

Description: Lemma for eldioph2 37325. Construct necessary renaming function for one direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
eldioph2lem2	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem eldioph2lem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
2		fzfi 12771	. . . 4
3		difinf 8230	. . . 4 $/\$ $\$
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
5		fzfi 12771	. . . 4
6		diffi 8192	. . . 4 $\$
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 $\$
8		isinffi 8818	. . 3 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
9	4, 7, 8	sylancl 694	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
10		f1f1orn 6148	. . . . . . . 8 $\$ $\$ $\$
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
12		f1oi 6174	. . . . . . . 8
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
14		incom 3805	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
15		disjdif 4040	. . . . . . . . 9 $\$
16	14, 15	eqtri 2644	. . . . . . . 8 $\$
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
18		f1f 6101	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$ $\$
19		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
22		ssrin 3838	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
24		incom 3805	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
25		disjdif 4040	. . . . . . . . . 10 $\$
26	24, 25	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 $\$
27	23, 26	syl6sseq 3651	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
28		ss0 3974	. . . . . . . 8
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
30		f1oun 6156	. . . . . . 7 $\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
31	11, 13, 17, 29, 30	syl22anc 1327	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
32		f1of1 6136	. . . . . 6 $\$ $\$
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
34		uncom 3757	. . . . . . 7 $\$ $\$
35		simplrr 801	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
36		fzss2 12381	. . . . . . . . 9
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
38		undif 4049	. . . . . . . 8 $\$
39	37, 38	sylib 208	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
40	34, 39	syl5eq 2668	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
41		f1eq2 6097	. . . . . 6 $\$ $\$
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
43	33, 42	mpbid 222	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
44	20	difss2d 3740	. . . . . 6 $\$ $\$
45	44	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
46		simplrl 800	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
47	45, 46	unssd 3789	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
48		f1ss 6106	. . . 4 $/\$
49	43, 47, 48	syl2anc 693	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
50		resundir 5411	. . . 4
51		dmres 5419	. . . . . . . 8
52		incom 3805	. . . . . . . . 9
53		f1dm 6105	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
55	54	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
56	55, 16	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
57	52, 56	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
58	51, 57	syl5eq 2668	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
59		relres 5426	. . . . . . . 8
60		reldm0 5343	. . . . . . . 8
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . 7
62	58, 61	sylibr 224	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
63		residm 5430	. . . . . . 7
64	63	a1i 11	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
65	62, 64	uneq12d 3768	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
66		uncom 3757	. . . . . 6
67		un0 3967	. . . . . 6
68	66, 67	eqtri 2644	. . . . 5
69	65, 68	syl6eq 2672	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
70	50, 69	syl5eq 2668	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
71		vex 3203	. . . . 5
72		ovex 6678	. . . . . 6
73		resiexg 7102	. . . . . 6
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5
75	71, 74	unex 6956	. . . 4
76		f1eq1 6096	. . . . 5
77		reseq1 5390	. . . . . 6
78	77	eqeq1d 2624	. . . . 5
79	76, 78	anbi12d 747	. . . 4 $/\$ $/\$
80	75, 79	spcev 3300	. . 3 $/\$ $/\$
81	49, 70, 80	syl2anc 693	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$
82	9, 81	exlimddv 1863	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cid 5023

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

wrel 5119

wf 5884

wf1 5885

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

c1 9937

cn0 11292

cuz 11687

cfz 12326

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327

This theorem is referenced by: eldioph2b 37326

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