Theorem sge0cl 40598

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0cl.x	|- ( ph -> X e. V )
sge0cl.f	|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0cl	|- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Proof of Theorem sge0cl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) = (Σ^ ` (/) ) )
2		sge00 40593	. . . . . 6 |- (Σ^ ` (/) ) = 0
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` (/) ) = 0 )
4	1, 3	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) = 0 )
5		0e0iccpnf 12283	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( F = (/) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
7	4, 6	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( F = (/) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
8	7	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9		sge0cl.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> X e. V )
11		sge0cl.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
13		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ran F )
14	10, 12, 13	sge0pnfval 40590	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) = +oo )
15		pnfel0pnf 39754	. . . . . 6 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
17	14, 16	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ph )
20		neqne 2802	. . . . 5 |- ( -. F = (/) -> F =/= (/) )
21	20	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> F =/= (/) )
22		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ran F )
23		0xr 10086	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> 0 e. RR* )
25		pnfxr 10092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
26	25	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> +oo e. RR* )
27	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> X e. V )
28	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
29		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ran F )
30	28, 29	fge0iccico 40587	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
31	27, 30	sge0reval 40589	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) = sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
32		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. Fin )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
34	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
35		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. ~P X )
36		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ~P X -> x C_ X )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x C_ X )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x C_ X )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> x C_ X )
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
41	39, 40	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. X )
42	34, 41	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	42	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
44		nne 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo <-> ( F ` y ) = +oo )
45	44	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo -> ( F ` y ) = +oo )
46	45	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` y ) =/= +oo -> +oo = ( F ` y ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> +oo = ( F ` y ) )
48		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun F )
49	11, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Fun F )
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> Fun F )
51	41	3impa 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. X )
52		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> dom F = X )
53	11, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom F = X )
54	53	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X = dom F )
55	54	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> X = dom F )
56	51, 55	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> y e. dom F )
57		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( F ` y ) e. ran F )
58	50, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ran F )
59	58	ad5ant134 1313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> ( F ` y ) e. ran F )
60	47, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> +oo e. ran F )
61	29	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) /\ -. ( F ` y ) =/= +oo ) -> -. +oo e. ran F )
62	60, 61	condan 835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) =/= +oo )
63		ge0xrre 39758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` y ) =/= +oo ) -> ( F ` y ) e. RR )
64	43, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. RR )
65	33, 64	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
66	65	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> A. x e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) = ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
68	67	rnmptss 6392	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
69	66, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
70		ressxr 10083	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> RR C_ RR* )
72	69, 71	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
73		supxrcl 12145	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) e. RR* )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) e. RR* )
75	31, 74	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
76	75	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
77	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> X = dom F )
78		neneq 2800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F =/= (/) -> -. F = (/) )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> -. F = (/) )
80		frel 6050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> ( 0 [,] +oo ) -> Rel F )
81	11, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Rel F )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> Rel F )
83		reldm0 5343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel F -> ( F = (/) <-> dom F = (/) ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> ( F = (/) <-> dom F = (/) ) )
85	79, 84	mtbid 314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> -. dom F = (/) )
86	85	neqned 2801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> dom F =/= (/) )
87	77, 86	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> X =/= (/) )
88		n0 3931	. . . . . . . 8 |- ( X =/= (/) <-> E. z z e. X )
89	87, 88	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> E. z z e. X )
90	89	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> E. z z e. X )
91	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 e. RR* )
92	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
93	92	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94		nne 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo <-> ( F ` z ) = +oo )
95	94	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo -> ( F ` z ) = +oo )
96	95	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( F ` z ) =/= +oo -> +oo = ( F ` z ) )
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> +oo = ( F ` z ) )
98	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
99	98, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> Fun F )
100		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. X )
101	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> X = dom F )
102	100, 101	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z e. dom F )
103		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. ran F )
104	99, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
105	104	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran F )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> ( F ` z ) e. ran F )
107	97, 106	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> +oo e. ran F )
108	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) /\ -. ( F ` z ) =/= +oo ) -> -. +oo e. ran F )
109	107, 108	condan 835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) =/= +oo )
110		ge0xrre 39758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` z ) =/= +oo ) -> ( F ` z ) e. RR )
111	93, 109, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. RR )
112	111	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. RR* )
113	75	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
114	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> 0 e. RR* )
115	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> +oo e. RR* )
116		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
117	114, 115, 92, 116	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
118	117	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 <_ ( F ` z ) )
119	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* )
120		snelpwi 4912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. X -> { z } e. ~P X )
121		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { z } e. Fin
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. X -> { z } e. Fin )
123	120, 122	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. X -> { z } e. ( ~P X i^i Fin ) )
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> { z } e. ( ~P X i^i Fin ) )
125		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> z e. X )
126	111	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
127		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
128	127	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. X /\ ( F ` z ) e. CC ) -> sum_ y e. { z } ( F ` y ) = ( F ` z ) )
129	125, 126, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> sum_ y e. { z } ( F ` y ) = ( F ` z ) )
130	129	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) )
131		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = { z } -> sum_ y e. x ( F ` y ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) )
132	131	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { z } -> ( ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) <-> ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) ) )
133	132	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { z } e. ( ~P X i^i Fin ) /\ ( F ` z ) = sum_ y e. { z } ( F ` y ) ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
134	124, 130, 133	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
135	67	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ( ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
136	93, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( F ` z ) = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
137	134, 136	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
138		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR* /\ ( F ` z ) e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) ) -> ( F ` z ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
139	119, 137, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) )
140	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` F ) )
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` F ) )
142	139, 141	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) <_ (Σ^ ` F ) )
143	91, 112, 113, 118, 142	xrletrd 11993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) /\ z e. X ) -> 0 <_ (Σ^ ` F ) )
144	143	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> ( z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
145	144	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ( z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
146	145	exlimdv 1861	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> ( E. z z e. X -> 0 <_ (Σ^ ` F ) ) )
147	90, 146	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> 0 <_ (Σ^ ` F ) )
148		pnfge 11964	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` F ) e. RR* -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
149	75, 148	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
150	149	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) <_ +oo )
151	24, 26, 76, 147, 150	eliccxrd 39753	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
152	19, 21, 22, 151	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. F = (/) ) /\ -. +oo e. ran F ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
153	18, 152	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( ph /\ -. F = (/) ) -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )
154	8, 153	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0ge0  40601  sge0xrcl  40602  sge0split  40626  sge0iunmptlemre  40632  sge0iunmpt  40635  sge0nemnf  40637  sge0clmpt  40642  sge0isum  40644  psmeasure  40688  ovnsupge0  40771  ovnsubaddlem1  40784  sge0hsphoire  40803  hoidmvlelem1  40809  hspmbllem2  40841