Theorem swrd0 13434

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0	|- ( (/) substr <. F , L >. ) = (/)

Proof of Theorem swrd0

Dummy variables x s b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5146	. . . 4 |- ( <. (/) , <. F , L >. >. e. ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) ) <-> ( (/) e. _V /\ <. F , L >. e. ( ZZ X. ZZ ) ) )
2		opelxp 5146	. . . . 5 |- ( <. F , L >. e. ( ZZ X. ZZ ) <-> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
3		swrdval 13417	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
4		fzonlt0 12491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
5	4	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) = (/) -> -. F < L ) )
6	5	con2d 129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L -> -. ( F..^ L ) = (/) ) )
7	6	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) = (/) )
8		ss0 3974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F..^ L ) C_ (/) -> ( F..^ L ) = (/) )
9	7, 8	nsyl 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ (/) )
10		dm0 5339	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom (/) = (/)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
12	11	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom (/) <-> ( F..^ L ) C_ (/) ) )
13	9, 12	mtbird 315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom (/) )
14	13	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
15		0ss 3972	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) C_ (/)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> (/) C_ (/) )
17	4	biimpac 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) = (/) )
18	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
19	16, 17, 18	3sstr4d 3648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom (/) )
20	19	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
21		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
22		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ZZ -> F e. RR )
23		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( L <_ F <-> -. F < L ) )
24	23	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
25	21, 22, 24	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
26		fzo0n 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
27	25, 26	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
28	27	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) )
29	28	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
30	29	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
31		ral0 4076	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V
32		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
33	31, 32	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
34	30, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
35		mptrel 5248	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) )
36		reldm0 5343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
37	35, 36	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
38	34, 37	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
39	20, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
40	14, 39	pm2.61ian 831	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
41	40	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
42	3, 41	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
43	42	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( (/) e. _V /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
44	2, 43	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ <. F , L >. e. ( ZZ X. ZZ ) ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
45	1, 44	sylbi 207	. . 3 |- ( <. (/) , <. F , L >. >. e. ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
46		df-substr 13303	. . . 4 |- substr = ( s e. _V , b e. ( ZZ X. ZZ ) |-> if ( ( ( 1st ` b )..^ ( 2nd ` b ) ) C_ dom s , ( z e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( z + ( 1st ` b ) ) ) ) , (/) ) )
47		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) e. _V
48	47	mptex 6486	. . . . 5 |- ( z e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( z + ( 1st ` b ) ) ) ) e. _V
49		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
50	48, 49	ifex 4156	. . . 4 |- if ( ( ( 1st ` b )..^ ( 2nd ` b ) ) C_ dom s , ( z e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( z + ( 1st ` b ) ) ) ) , (/) ) e. _V
51	46, 50	dmmpt2 7240	. . 3 |- dom substr = ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) )
52	45, 51	eleq2s 2719	. 2 |- ( <. (/) , <. F , L >. >. e. dom substr -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
53		df-ov 6653	. . 3 |- ( (/) substr <. F , L >. ) = ( substr ` <. (/) , <. F , L >. >. )
54		ndmfv 6218	. . 3 |- ( -. <. (/) , <. F , L >. >. e. dom substr -> ( substr ` <. (/) , <. F , L >. >. ) = (/) )
55	53, 54	syl5eq 2668	. 2 |- ( -. <. (/) , <. F , L >. >. e. dom substr -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
56	52, 55	pm2.61i 176	1 |- ( (/) substr <. F , L >. ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  cshword  13537  pfx0  41385  cshword2  41437