Theorem mbfresfi 33456

Description: Measurability of a piecewise function across arbitrarily many subsets. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfresfi.1	|- ( ph -> F : A --> CC )
mbfresfi.2	|- ( ph -> S e. Fin )
mbfresfi.3	|- ( ph -> A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn )
mbfresfi.4	|- ( ph -> U. S = A )

Assertion

Ref	Expression
mbfresfi	|- ( ph -> F e. MblFn )

Distinct variable groups:   ph, s   A, s   F, s   S, s

Proof of Theorem mbfresfi

Dummy variables a b f g h r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfresfi.1	. 2 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		mbfresfi.3	. 2 |- ( ph -> A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn )
3		mbfresfi.4	. . 3 |- ( ph -> U. S = A )
4		mbfresfi.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. Fin )
5		uniexg 6955	. . . . . . 7 |- ( S e. Fin -> U. S e. _V )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U. S e. _V )
7	3, 6	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
8		fex 6490	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> CC /\ A e. _V ) -> F e. _V )
9	8	ex 450	. . . . . 6 |- ( F : A --> CC -> ( A e. _V -> F e. _V ) )
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. _V -> F e. _V ) )
11	7, 10	jcai 559	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. _V /\ F e. _V ) )
12		feq2 6027	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( f : a --> CC <-> f : A --> CC ) )
13	12	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) <-> ( f : A --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) ) )
14		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( U. S = a <-> U. S = A ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) <-> ( ( f : A --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) ) )
16	15	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) -> f e. MblFn ) <-> ( ( ( f : A --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) -> f e. MblFn ) ) )
17	16	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ph -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) -> f e. MblFn ) ) <-> ( ph -> ( ( ( f : A --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) -> f e. MblFn ) ) ) )
18		feq1 6026	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f : A --> CC <-> F : A --> CC ) )
19		reseq1 5390	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( f |` s ) = ( F |` s ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( ( f |` s ) e. MblFn <-> ( F |` s ) e. MblFn ) )
21	20	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn <-> A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn ) )
22	18, 21	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f : A --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) <-> ( F : A --> CC /\ A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn ) ) )
23	22	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( ( f : A --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) <-> ( ( F : A --> CC /\ A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) ) )
24		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f e. MblFn <-> F e. MblFn ) )
25	23, 24	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( ( f : A --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) -> f e. MblFn ) <-> ( ( ( F : A --> CC /\ A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) -> F e. MblFn ) ) )
26	25	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( ph -> ( ( ( f : A --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) -> f e. MblFn ) ) <-> ( ph -> ( ( ( F : A --> CC /\ A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) -> F e. MblFn ) ) ) )
27		rzal 4073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = (/) -> A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn )
28	27	biantrud 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = (/) -> ( f : a --> CC <-> ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) ) )
29	28	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 |- ( r = (/) -> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) <-> f : a --> CC ) )
30		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = (/) -> U. r = U. (/) )
31		uni0 4465	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
32	30, 31	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = (/) -> U. r = (/) )
33	32	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( r = (/) -> ( U. r = a <-> (/) = a ) )
34	29, 33	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( r = (/) -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) <-> ( f : a --> CC /\ (/) = a ) ) )
35	34	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( r = (/) -> ( ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> ( ( f : a --> CC /\ (/) = a ) -> f e. MblFn ) ) )
36	35	2albidv 1851	. . . . . . 7 |- ( r = (/) -> ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> A. f A. a ( ( f : a --> CC /\ (/) = a ) -> f e. MblFn ) ) )
37		raleq 3138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = t -> ( A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn <-> A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) )
38	37	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = t -> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) <-> ( f : a --> CC /\ A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) ) )
39		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = t -> U. r = U. t )
40	39	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = t -> ( U. r = a <-> U. t = a ) )
41	38, 40	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( r = t -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) <-> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = a ) ) )
42	41	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( r = t -> ( ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = a ) -> f e. MblFn ) ) )
43	42	2albidv 1851	. . . . . . . 8 |- ( r = t -> ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = a ) -> f e. MblFn ) ) )
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> f = g )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> a = b )
46	44, 45	feq12d 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( f : a --> CC <-> g : b --> CC ) )
47		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f |` s ) = ( g |` s ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( f |` s ) = ( g |` s ) )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( ( f |` s ) e. MblFn <-> ( g |` s ) e. MblFn ) )
50	49	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn <-> A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) )
51	46, 50	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) <-> ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) ) )
52		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( U. t = a <-> U. t = b ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( U. t = a <-> U. t = b ) )
54	51, 53	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = a ) <-> ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) ) )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f e. MblFn <-> g e. MblFn ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( f e. MblFn <-> g e. MblFn ) )
57	54, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = g /\ a = b ) -> ( ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = a ) -> f e. MblFn ) <-> ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) ) )
58	57	cbval2v 2285	. . . . . . . 8 |- ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. t ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = a ) -> f e. MblFn ) <-> A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) )
59	43, 58	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( r = t -> ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) ) )
60		raleq 3138	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( t u. { h } ) -> ( A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn <-> A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) )
61	60	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( t u. { h } ) -> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) <-> ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) ) )
62		unieq 4444	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( t u. { h } ) -> U. r = U. ( t u. { h } ) )
63	62	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( t u. { h } ) -> ( U. r = a <-> U. ( t u. { h } ) = a ) )
64	61, 63	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( t u. { h } ) -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) <-> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) )
65	64	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( r = ( t u. { h } ) -> ( ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> f e. MblFn ) ) )
66	65	2albidv 1851	. . . . . . 7 |- ( r = ( t u. { h } ) -> ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> f e. MblFn ) ) )
67		raleq 3138	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = S -> ( A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn <-> A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) )
68	67	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( r = S -> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) <-> ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) ) )
69		unieq 4444	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = S -> U. r = U. S )
70	69	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( r = S -> ( U. r = a <-> U. S = a ) )
71	68, 70	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( r = S -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) <-> ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) ) )
72	71	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( r = S -> ( ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) -> f e. MblFn ) ) )
73	72	2albidv 1851	. . . . . . 7 |- ( r = S -> ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. r ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. r = a ) -> f e. MblFn ) <-> A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) -> f e. MblFn ) ) )
74		frel 6050	. . . . . . . . . 10 |- ( f : a --> CC -> Rel f )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : a --> CC /\ (/) = a ) -> Rel f )
76		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( f : a --> CC -> dom f = a )
77		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) = a <-> a = (/) )
78	77	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) = a -> a = (/) )
79	76, 78	sylan9eq 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : a --> CC /\ (/) = a ) -> dom f = (/) )
80		reldm0 5343	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel f -> ( f = (/) <-> dom f = (/) ) )
81	80	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel f /\ dom f = (/) ) -> f = (/) )
82		0mbf 33455	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. MblFn
83	81, 82	syl6eqel 2709	. . . . . . . . 9 |- ( ( Rel f /\ dom f = (/) ) -> f e. MblFn )
84	75, 79, 83	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( f : a --> CC /\ (/) = a ) -> f e. MblFn )
85	84	gen2 1723	. . . . . . 7 |- A. f A. a ( ( f : a --> CC /\ (/) = a ) -> f e. MblFn )
86		ref 13852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Re : CC --> RR
87		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Re : CC --> RR /\ f : a --> CC ) -> ( Re o. f ) : a --> RR )
88	86, 87	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : a --> CC -> ( Re o. f ) : a --> RR )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> ( Re o. f ) : a --> RR )
90	89	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( Re o. f ) : a --> RR )
91		recncf 22705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Re e. ( CC -cn-> RR )
92	91	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Re e. _V
93		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
94	92, 93	coex 7118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Re o. f ) e. _V
95	94	resex 5443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. _V
96		vuniex 6954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. t e. _V
97		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = U. t <-> U. t = b )
98	97	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = U. t -> U. t = b )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> U. t = b )
100	99	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) <-> ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) ) )
101		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- CC = CC
102		feq123 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t /\ CC = CC ) -> ( g : b --> CC <-> ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC ) )
103	101, 102	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( g : b --> CC <-> ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC ) )
104		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) -> ( g |` s ) = ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) )
105	104	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) -> ( ( g |` s ) e. MblFn <-> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( g |` s ) e. MblFn <-> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) )
107	106	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn <-> A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) )
108	103, 107	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) <-> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) ) )
109	100, 108	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) <-> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) ) )
110		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) -> ( g e. MblFn <-> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( g e. MblFn <-> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
112	109, 111	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g = ( ( Re o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) <-> ( ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) ) )
113	112	spc2gv 3296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. _V /\ U. t e. _V ) -> ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) -> ( ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) ) )
114	95, 96, 113	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) -> ( ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
115		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- RR C_ CC
116		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Re : CC --> RR /\ RR C_ CC ) -> Re : CC --> CC )
117	86, 115, 116	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Re : CC --> CC
118		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Re : CC --> CC /\ f : a --> CC ) -> ( Re o. f ) : a --> CC )
119	117, 118	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : a --> CC -> ( Re o. f ) : a --> CC )
120		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- t C_ ( t u. { h } )
121	120	unissi 4461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. t C_ U. ( t u. { h } )
122		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. ( t u. { h } ) = a -> U. ( t u. { h } ) = a )
123	121, 122	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. ( t u. { h } ) = a -> U. t C_ a )
124		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Re o. f ) : a --> CC /\ U. t C_ a ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC )
125	119, 123, 124	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : a --> CC /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC )
126	125	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC )
127		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. t -> r C_ U. t )
128	127	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r e. t -> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` r ) = ( ( Re o. f ) |` r ) )
129		resco 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Re o. f ) |` r ) = ( Re o. ( f |` r ) )
130	128, 129	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. t -> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` r ) = ( Re o. ( f |` r ) ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` r ) = ( Re o. ( f |` r ) ) )
132		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( r e. t -> r e. ( t u. { h } ) )
133		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s = r -> ( f |` s ) = ( f |` r ) )
134	133	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s = r -> ( ( f |` s ) e. MblFn <-> ( f |` r ) e. MblFn ) )
135	134	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn /\ r e. ( t u. { h } ) ) -> ( f |` r ) e. MblFn )
136	132, 135	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn /\ r e. t ) -> ( f |` r ) e. MblFn )
137	136	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( f |` r ) e. MblFn )
138		fresin 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : a --> CC -> ( f |` r ) : ( a i^i r ) --> CC )
139		ismbfcn 23398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f |` r ) : ( a i^i r ) --> CC -> ( ( f |` r ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( f |` r ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( f |` r ) ) e. MblFn ) ) )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : a --> CC -> ( ( f |` r ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( f |` r ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( f |` r ) ) e. MblFn ) ) )
141	140	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : a --> CC -> ( ( f |` r ) e. MblFn -> ( ( Re o. ( f |` r ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( f |` r ) ) e. MblFn ) ) )
142	141	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( ( f |` r ) e. MblFn -> ( ( Re o. ( f |` r ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( f |` r ) ) e. MblFn ) ) )
143	137, 142	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( ( Re o. ( f |` r ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( f |` r ) ) e. MblFn ) )
144	143	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( Re o. ( f |` r ) ) e. MblFn )
145	131, 144	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` r ) e. MblFn )
146	145	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> A. r e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` r ) e. MblFn )
147		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = s -> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` r ) = ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) )
148	147	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = s -> ( ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` r ) e. MblFn <-> ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) )
149	148	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. r e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` r ) e. MblFn <-> A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn )
150	146, 149	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn )
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn )
152		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
153	126, 151, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> ( ( ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Re o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
154	114, 153	mpan9 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( ( Re o. f ) |` U. t ) e. MblFn )
155		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- h e. { h }
156		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. { h } -> h e. ( t u. { h } ) )
157		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = h -> ( f |` s ) = ( f |` h ) )
158	157	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = h -> ( ( f |` s ) e. MblFn <-> ( f |` h ) e. MblFn ) )
159	158	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. ( t u. { h } ) -> ( A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn -> ( f |` h ) e. MblFn ) )
160	155, 156, 159	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn -> ( f |` h ) e. MblFn )
161		resco 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Re o. f ) |` h ) = ( Re o. ( f |` h ) )
162		fresin 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : a --> CC -> ( f |` h ) : ( a i^i h ) --> CC )
163		ismbfcn 23398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f |` h ) : ( a i^i h ) --> CC -> ( ( f |` h ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( f |` h ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( f |` h ) ) e. MblFn ) ) )
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : a --> CC -> ( ( f |` h ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( f |` h ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( f |` h ) ) e. MblFn ) ) )
165	164	simprbda 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : a --> CC /\ ( f |` h ) e. MblFn ) -> ( Re o. ( f |` h ) ) e. MblFn )
166	161, 165	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : a --> CC /\ ( f |` h ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` h ) e. MblFn )
167	160, 166	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Re o. f ) |` h ) e. MblFn )
168	167	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( ( Re o. f ) |` h ) e. MblFn )
169		uniun 4456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( t u. { h } ) = ( U. t u. U. { h } )
170		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- h e. _V
171	170	unisn 4451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. { h } = h
172	171	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. t u. U. { h } ) = ( U. t u. h )
173	169, 172	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( t u. { h } ) = ( U. t u. h )
174	173, 122	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ( t u. { h } ) = a -> ( U. t u. h ) = a )
175	174	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( U. t u. h ) = a )
176	90, 154, 168, 175	mbfres2 23412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( Re o. f ) e. MblFn )
177		imf 13853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Im : CC --> RR
178		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Im : CC --> RR /\ f : a --> CC ) -> ( Im o. f ) : a --> RR )
179	177, 178	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : a --> CC -> ( Im o. f ) : a --> RR )
180	179	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> ( Im o. f ) : a --> RR )
181	180	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( Im o. f ) : a --> RR )
182		imcncf 22706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Im e. ( CC -cn-> RR )
183	182	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Im e. _V
184	183, 93	coex 7118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Im o. f ) e. _V
185	184	resex 5443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. _V
186	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> U. t = b )
187	186	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) <-> ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) ) )
188		feq123 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t /\ CC = CC ) -> ( g : b --> CC <-> ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC ) )
189	101, 188	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( g : b --> CC <-> ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC ) )
190		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) -> ( g |` s ) = ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) )
191	190	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) -> ( ( g |` s ) e. MblFn <-> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) )
192	191	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( g |` s ) e. MblFn <-> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) )
193	192	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn <-> A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) )
194	189, 193	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) <-> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) ) )
195	187, 194	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) <-> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) ) )
196		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) -> ( g e. MblFn <-> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
197	196	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( g e. MblFn <-> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
198	195, 197	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g = ( ( Im o. f ) |` U. t ) /\ b = U. t ) -> ( ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) <-> ( ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) ) )
199	198	spc2gv 3296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. _V /\ U. t e. _V ) -> ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) -> ( ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) ) )
200	185, 96, 199	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) -> ( ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
201		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im : CC --> RR /\ RR C_ CC ) -> Im : CC --> CC )
202	177, 115, 201	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Im : CC --> CC
203		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Im : CC --> CC /\ f : a --> CC ) -> ( Im o. f ) : a --> CC )
204	202, 203	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : a --> CC -> ( Im o. f ) : a --> CC )
205		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Im o. f ) : a --> CC /\ U. t C_ a ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC )
206	204, 123, 205	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : a --> CC /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC )
207	206	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC )
208	127	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r e. t -> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` r ) = ( ( Im o. f ) |` r ) )
209		resco 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Im o. f ) |` r ) = ( Im o. ( f |` r ) )
210	208, 209	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. t -> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` r ) = ( Im o. ( f |` r ) ) )
211	210	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` r ) = ( Im o. ( f |` r ) ) )
212	143	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( Im o. ( f |` r ) ) e. MblFn )
213	211, 212	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ r e. t ) -> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` r ) e. MblFn )
214	213	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> A. r e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` r ) e. MblFn )
215		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = s -> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` r ) = ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) )
216	215	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = s -> ( ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` r ) e. MblFn <-> ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) )
217	216	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. r e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` r ) e. MblFn <-> A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn )
218	214, 217	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn )
219	218	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn )
220		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
221	207, 219, 220	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> ( ( ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) : U. t --> CC /\ A. s e. t ( ( ( Im o. f ) |` U. t ) |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn ) )
222	200, 221	mpan9 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( ( Im o. f ) |` U. t ) e. MblFn )
223		resco 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Im o. f ) |` h ) = ( Im o. ( f |` h ) )
224	164	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : a --> CC /\ ( f |` h ) e. MblFn ) -> ( Im o. ( f |` h ) ) e. MblFn )
225	223, 224	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : a --> CC /\ ( f |` h ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` h ) e. MblFn )
226	160, 225	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> ( ( Im o. f ) |` h ) e. MblFn )
227	226	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( ( Im o. f ) |` h ) e. MblFn )
228	181, 222, 227, 175	mbfres2 23412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( Im o. f ) e. MblFn )
229		ismbfcn 23398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : a --> CC -> ( f e. MblFn <-> ( ( Re o. f ) e. MblFn /\ ( Im o. f ) e. MblFn ) ) )
230	229	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) -> ( f e. MblFn <-> ( ( Re o. f ) e. MblFn /\ ( Im o. f ) e. MblFn ) ) )
231	230	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> ( f e. MblFn <-> ( ( Re o. f ) e. MblFn /\ ( Im o. f ) e. MblFn ) ) )
232	176, 228, 231	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) /\ ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) ) -> f e. MblFn )
233	232	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> f e. MblFn ) )
234	233	alrimivv 1856	. . . . . . . 8 |- ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) -> A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> f e. MblFn ) )
235	234	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( t e. Fin -> ( A. g A. b ( ( ( g : b --> CC /\ A. s e. t ( g |` s ) e. MblFn ) /\ U. t = b ) -> g e. MblFn ) -> A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. ( t u. { h } ) ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. ( t u. { h } ) = a ) -> f e. MblFn ) ) )
236	36, 59, 66, 73, 85, 235	findcard2 8200	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) -> f e. MblFn ) )
237		2sp 2056	. . . . . 6 |- ( A. f A. a ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) -> f e. MblFn ) -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) -> f e. MblFn ) )
238	4, 236, 237	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( f : a --> CC /\ A. s e. S ( f |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = a ) -> f e. MblFn ) )
239	17, 26, 238	vtocl2g 3270	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ F e. _V ) -> ( ph -> ( ( ( F : A --> CC /\ A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) -> F e. MblFn ) ) )
240	11, 239	mpcom 38	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F : A --> CC /\ A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn ) /\ U. S = A ) -> F e. MblFn ) )
241	3, 240	mpan2d 710	. 2 |- ( ph -> ( ( F : A --> CC /\ A. s e. S ( F |` s ) e. MblFn ) -> F e. MblFn ) )
242	1, 2, 241	mp2and 715	1 |- ( ph -> F e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   -->wf 5884  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   Recre 13837   Imcim 13838   -cn->ccncf 22679  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by: (None)