Theorem relexpindlem 13803

Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpindlem.1	|- ( et -> Rel R )
relexpindlem.2	|- ( et -> R e. _V )
relexpindlem.3	|- ( et -> S e. _V )
relexpindlem.4	|- ( i = S -> ( ph <-> ch ) )
relexpindlem.5	|- ( i = x -> ( ph <-> ps ) )
relexpindlem.6	|- ( i = j -> ( ph <-> th ) )
relexpindlem.7	|- ( et -> ch )
relexpindlem.8	|- ( et -> ( j R x -> ( th -> ps ) ) )

Assertion

Ref	Expression
relexpindlem	|- ( et -> ( n e. NN0 -> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) )

Distinct variable groups:   x, i   x, n   i, j, R, x   S, i, j, x   et, i, j, x   ph, j, x   ps, i, j   ch, i   th, i   et, x

Allowed substitution hints:   ph( i, n)   ps( x, n)   ch( x, j, n)   th( x, j, n)   et( n)   R( n)   S( n)

Proof of Theorem relexpindlem

Dummy variables l k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( et /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
2		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( k e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
3	2	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( ( et /\ k e. NN0 ) <-> ( et /\ 0 e. NN0 ) ) )
4		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( R ^r k ) = ( R ^r 0 ) )
5	4	breqd 4664	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( S ( R ^r k ) x <-> S ( R ^r 0 ) x ) )
6	5	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) )
7	6	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> A. x ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) )
8	3, 7	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( ( et /\ k e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) ) <-> ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) ) )
9		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( k = l -> ( k e. NN0 <-> l e. NN0 ) )
10	9	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( k = l -> ( ( et /\ k e. NN0 ) <-> ( et /\ l e. NN0 ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = l -> ( R ^r k ) = ( R ^r l ) )
12	11	breqd 4664	. . . . . . . 8 |- ( k = l -> ( S ( R ^r k ) x <-> S ( R ^r l ) x ) )
13	12	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( k = l -> ( ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) )
14	13	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( k = l -> ( A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) )
15	10, 14	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = l -> ( ( ( et /\ k e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) ) <-> ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) ) )
16		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( k = ( l + 1 ) -> ( k e. NN0 <-> ( l + 1 ) e. NN0 ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( k = ( l + 1 ) -> ( ( et /\ k e. NN0 ) <-> ( et /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) ) )
18		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( l + 1 ) -> ( R ^r k ) = ( R ^r ( l + 1 ) ) )
19	18	breqd 4664	. . . . . . . 8 |- ( k = ( l + 1 ) -> ( S ( R ^r k ) x <-> S ( R ^r ( l + 1 ) ) x ) )
20	19	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( k = ( l + 1 ) -> ( ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) )
21	20	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( k = ( l + 1 ) -> ( A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) )
22	17, 21	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = ( l + 1 ) -> ( ( ( et /\ k e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) ) <-> ( ( et /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) )
23		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( k e. NN0 <-> n e. NN0 ) )
24	23	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( ( et /\ k e. NN0 ) <-> ( et /\ n e. NN0 ) ) )
25		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( R ^r k ) = ( R ^r n ) )
26	25	breqd 4664	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( S ( R ^r k ) x <-> S ( R ^r n ) x ) )
27	26	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) )
28	27	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) <-> A. x ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) )
29	24, 28	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = n -> ( ( ( et /\ k e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r k ) x -> ps ) ) <-> ( ( et /\ n e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) ) )
30		relexpindlem.2	. . . . . . . . . 10 |- ( et -> R e. _V )
31		relexpindlem.1	. . . . . . . . . 10 |- ( et -> Rel R )
32	30, 31	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( et -> ( R e. _V /\ Rel R ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> ( R e. _V /\ Rel R ) )
34		relexp0 13763	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. _V /\ Rel R ) -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) )
36		relexpindlem.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( et -> ch )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> ch )
38		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> et )
39		relexpindlem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( et -> S e. _V )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ et ) -> S e. _V )
41		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i = S /\ ( et /\ ( ph /\ i = S ) ) ) -> et )
42	41, 36	jccil 563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i = S /\ ( et /\ ( ph /\ i = S ) ) ) -> ( ch /\ et ) )
43	42	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( et /\ ( ph /\ i = S ) ) -> ( i = S -> ( ch /\ et ) ) )
44	43	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i = S ) -> ( et -> ( i = S -> ( ch /\ et ) ) ) )
45	44	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = S -> ( ph -> ( et -> ( i = S -> ( ch /\ et ) ) ) ) )
46	45	3imp1 1280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i = S /\ ph /\ et ) /\ i = S ) -> ( ch /\ et ) )
47	46	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = S -> ( ( i = S /\ ph /\ et ) -> ( ch /\ et ) ) )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( et /\ i = S ) -> i = S )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ ( et /\ i = S ) ) -> i = S )
50		relexpindlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = S -> ( ph <-> ch ) )
51	50	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ch /\ ( et /\ i = S ) ) -> ( ph <-> ch ) )
52	51	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ ( et /\ i = S ) ) -> ( ch <-> ph ) )
53		anbi1 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ch <-> ph ) -> ( ( ch /\ ( et /\ i = S ) ) <-> ( ph /\ ( et /\ i = S ) ) ) )
54		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( et /\ i = S ) ) -> ph )
55	53, 54	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch <-> ph ) -> ( ( ch /\ ( et /\ i = S ) ) -> ph ) )
56	52, 55	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ ( et /\ i = S ) ) -> ph )
57		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ ( et /\ i = S ) ) -> et )
58	49, 56, 57	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ ( et /\ i = S ) ) -> ( i = S /\ ph /\ et ) )
59	58	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ch /\ et ) /\ i = S ) -> ( i = S /\ ph /\ et ) )
60	59	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = S -> ( ( ch /\ et ) -> ( i = S /\ ph /\ et ) ) )
61	47, 60	impbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = S -> ( ( i = S /\ ph /\ et ) <-> ( ch /\ et ) ) )
62	61	spcegv 3294	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. _V -> ( ( ch /\ et ) -> E. i ( i = S /\ ph /\ et ) ) )
63	40, 62	mpcom 38	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ et ) -> E. i ( i = S /\ ph /\ et ) )
64	37, 38, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> E. i ( i = S /\ ph /\ et ) )
65		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> S ( _I |` U. U. R ) x )
66		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S ( _I |` U. U. R ) x <-> <. S , x >. e. ( _I |` U. U. R ) )
67	65, 66	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> <. S , x >. e. ( _I |` U. U. R ) )
68		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
69	68	opelres 5401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. S , x >. e. ( _I |` U. U. R ) <-> ( <. S , x >. e. _I /\ S e. U. U. R ) )
70	67, 69	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> ( <. S , x >. e. _I /\ S e. U. U. R ) )
71		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( <. S , x >. e. _I /\ S e. U. U. R ) /\ ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) -> <. S , x >. e. _I )
72		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _I x <-> <. S , x >. e. _I )
73	71, 72	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , x >. e. _I /\ S e. U. U. R ) /\ ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) -> S _I x )
74	68	ideq 5274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S _I x <-> S = x )
75	73, 74	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , x >. e. _I /\ S e. U. U. R ) /\ ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) -> S = x )
76	70, 75	mpancom 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> S = x )
77		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S = x -> ( S ( _I |` U. U. R ) x <-> x ( _I |` U. U. R ) x ) )
78		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S = x -> ( i = S <-> i = x ) )
79	78	3anbi1d 1403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S = x -> ( ( i = S /\ ph /\ et ) <-> ( i = x /\ ph /\ et ) ) )
80	79	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S = x -> ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) <-> E. i ( i = x /\ ph /\ et ) ) )
81	80	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S = x -> ( ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) <-> ( E. i ( i = x /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) )
82	77, 81	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S = x -> ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) <-> ( x ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = x /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) ) )
83		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( et /\ ( ph /\ i = x ) ) -> ph )
84		relexpindlem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = x -> ( ph <-> ps ) )
85	84	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( et /\ ( ph /\ i = x ) ) -> ( ph <-> ps ) )
86	83, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( et /\ ( ph /\ i = x ) ) -> ps )
87	86	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i = x ) -> ( et -> ps ) )
88	87	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = x -> ( ph -> ( et -> ps ) ) )
89	88	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = x /\ ph /\ et ) -> ps )
90	89	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. i ( i = x /\ ph /\ et ) -> ps )
91	90	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = x /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> ps )
92	82, 91	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( S = x -> ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> ps ) )
93	76, 92	mpcom 38	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S ( _I |` U. U. R ) x /\ ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) ) -> ps )
94	93	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. i ( i = S /\ ph /\ et ) /\ ( et /\ 0 e. NN0 ) ) -> ( S ( _I |` U. U. R ) x -> ps ) )
95	64, 94	mpancom 703	. . . . . . . 8 |- ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> ( S ( _I |` U. U. R ) x -> ps ) )
96		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) -> ( S ( R ^r 0 ) x <-> S ( _I |` U. U. R ) x ) )
97	96	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) -> ( ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) <-> ( S ( _I |` U. U. R ) x -> ps ) ) )
98	95, 97	syl5ibr 236	. . . . . . 7 |- ( ( R ^r 0 ) = ( _I |` U. U. R ) -> ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) ) )
99	35, 98	mpcom 38	. . . . . 6 |- ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) )
100	99	alrimiv 1855	. . . . 5 |- ( ( et /\ 0 e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r 0 ) x -> ps ) )
101		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = x -> ( S ( R ^r l ) i <-> S ( R ^r l ) x ) )
102	101, 84	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = x -> ( ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) )
103	102	cbvalv 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) )
104	103	bicomi 214	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) )
105		imbi2 338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) <-> ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) ) )
106	105	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) <-> ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) )
107	106	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) <-> ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) )
108	107	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) <-> ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) )
109	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> R e. _V )
110	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> Rel R )
111		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> l e. NN0 )
112		relexpsucl 13773	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. _V /\ Rel R /\ l e. NN0 ) -> ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) )
113	109, 110, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) )
114		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> S ( R o. ( R ^r l ) ) x )
115	39	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> S e. _V )
116		brcog 5288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. _V /\ x e. _V ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x <-> E. j ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) )
117	115, 68, 116	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x <-> E. j ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) )
118	114, 117	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> E. j ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) )
119		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> et )
120		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) -> l e. NN0 )
121	120	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> l e. NN0 )
122	119, 121	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> ( et /\ l e. NN0 ) )
123		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) -> ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) )
124	123	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) )
125	122, 124	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) )
126		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> et )
127		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> j R x )
128	127	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) -> j R x )
129	128	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> j R x )
130		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i = j -> ( S ( R ^r l ) i <-> S ( R ^r l ) j ) )
131		relexpindlem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i = j -> ( ph <-> th ) )
132	130, 131	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i = j -> ( ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) )
133	132	cbvalv 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) )
134		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) )
135		imbi2 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) <-> ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) ) )
136	135	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) <-> ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) )
137	136	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) <-> ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) )
138	137	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) <-> ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) )
139	138	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) <-> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) )
140	134, 139	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) <-> ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) ) )
141		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> S ( R ^r l ) j )
142	141	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) -> S ( R ^r l ) j )
143	142	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> S ( R ^r l ) j )
144		sp 2053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) -> ( S ( R ^r l ) j -> th ) )
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> ( S ( R ^r l ) j -> th ) )
146	143, 145	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> th )
147	140, 146	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) <-> A. j ( S ( R ^r l ) j -> th ) ) -> ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> th ) )
148	133, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> th )
149		relexpindlem.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( et -> ( j R x -> ( th -> ps ) ) )
150	126, 129, 148, 149	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) /\ ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) ) -> ps )
151	125, 150	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) ) -> ps )
152	151	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) )
153	152	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) ) -> ( et -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) )
154	153	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ ( l e. NN0 /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> ( ( l + 1 ) e. NN0 -> ( et -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) ) )
155	154	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) -> ( ( l + 1 ) e. NN0 -> ( et -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) ) )
156	155	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> ( et -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) )
157	156	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) -> ( et -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) )
158	157	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( et /\ ( ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) )
159	158	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) )
160	159	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) ) -> ps )
161	160	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) /\ ( S ( R ^r l ) j /\ j R x ) ) -> ps )
162	118, 161	exlimddv 1863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x /\ ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) ) -> ps )
163	162	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) )
164		breq 4655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) -> ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x <-> S ( R o. ( R ^r l ) ) x ) )
165	164	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) -> ( ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) <-> ( S ( R o. ( R ^r l ) ) x -> ps ) ) )
166	163, 165	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ^r ( l + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r l ) ) -> ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) )
167	113, 166	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) )
168	167	alrimiv 1855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) )
169	108, 168	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) <-> A. i ( S ( R ^r l ) i -> ph ) ) -> ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) )
170	104, 169	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( et /\ ( ( l + 1 ) e. NN0 /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) )
171	170	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( et /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) /\ ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) )
172	171	expcom 451	. . . . . 6 |- ( ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) /\ l e. NN0 ) -> ( ( et /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) )
173	172	expcom 451	. . . . 5 |- ( l e. NN0 -> ( ( ( et /\ l e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r l ) x -> ps ) ) -> ( ( et /\ ( l + 1 ) e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r ( l + 1 ) ) x -> ps ) ) ) )
174	8, 15, 22, 29, 100, 173	nn0ind 11472	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( ( et /\ n e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) )
175	1, 174	mpcom 38	. . 3 |- ( ( et /\ n e. NN0 ) -> A. x ( S ( R ^r n ) x -> ps ) )
176	175	19.21bi 2059	. 2 |- ( ( et /\ n e. NN0 ) -> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) )
177	176	ex 450	1 |- ( et -> ( n e. NN0 -> ( S ( R ^r n ) x -> ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761

This theorem is referenced by:  relexpind  13804